丘成桐：数学的万有引力

1969 年圣诞假期，我在加州大学伯克利分校图书馆的坎贝尔厅（Campbell Hall），开启了数学研究之旅。当时，我读到一篇约翰·米尔诺（John Milnor）写的论文，开始对黎曼流形的曲率与其基本群之间的相互作用感兴趣，着迷于流形的拓扑结构与其曲率之间的关系。

拓扑是流形的一种非常基本的结构，表面上与定义在其上的度量无关。然而，几何中的定理却表明并非如此。当我在一间狭小的复印室里撰写题为“关于具有非正曲率紧流形的基本群（

尽管我对他坚持要阅读我的论文不太乐意，但费舍尔的那番话却在我脑海中萦绕许久挥之不去。几何、拓扑和物理必须被视为一个统一的主题来对待。但对我来说，几何才是推动力，这一定程度上基于当时的我对物理的无知、对拓扑学的相对无知。

当然，几何是一门如此美妙的学科，我无法抗拒继续探索其内在结构的诱惑。有许多美妙的几何现象有待研究，我认为，理解几何学的关键在于曲率这一概念。广义相对论恰恰是几何与物理之间的一个重要桥梁，在广义相对论中，里奇（Ricci）曲率的概念被视为等同于时空中物质的分布。

因此，我大量的工作都与里奇曲率和数量曲率有关，数量曲率是里奇曲率的迹。

在伯克利读书时，我对与拓扑和物理有关的时空几何结构产生了浓厚的兴趣。有一天，我突然意识到，理解几何结构最透彻的方法就是弄明白如何从零开始构建几何结构。

这里的“从零开始”意味着：从一个拓扑空间开始，我们在拓扑空间上构建一个度量结构使得它的曲率满足一定的条件。一个最重要的例子就是找出什么样的拓扑能支持一个爱因斯坦结构，这意味着一个度量满足爱因斯坦方程：

从这个角度看，理解几何、拓扑和理论物理的关键是流形上的分析和偏微分方程。缺乏对这种分析的深刻理解，一切都会变得表面化。我的这一观点也得到了多位杰出学者朋友的认同，其中不乏邵逸夫奖获得者。我们共同发展出的这个学科被称为几何分析。

我的第一个任务是研究定义在流形上的函数。基本的哲学是，由流形的几何定义的函数类可能决定几何结构本身。有时，由于流形的拓扑，流形上可能没有足够的函数，我们则寻找扭函数（线丛的截面）。

这类函数的第一个重要类别是由拉普拉斯算子定义的调和函数和特征函数。当我们在欧几里得空间中研究极小曲面时，坐标函数是调和的。当我们在球面中研究极小曲面时，坐标函数是特征函数。因此，这些函数与几何密切相关。

我的第一个重要贡献是给出了定义在里奇曲率有下界的完备流形上的调和函数的一个好的梯度估计。我和郑绍远（S.-Y. Cheng）运用我发展的这个方法处理了几个有趣的几何问题，例如更高维的闵可夫斯基问题，闵可夫斯基时空中极大类空超曲面的伯恩斯坦型定理，以及实蒙日-安培方程（与仿射球面的分类有关）。

我与李伟光（Peter Li）随后将这一理论推广到估计拉普拉斯算子的特征值这一问题。我们设法根据里奇曲率的下界和直径的上界来估计特征值。与这些问题密切相关的是理解流形的热核，这是理解流形上抛物方程的关键。我和李伟光对这类方程进行了深入分析，并合作完成一篇关于抛物方程的哈纳克（Harnack）不等式的重要论文。

根据我的建议，理查德·汉密尔顿（Richard Hamilton）将我们的工作推广到里奇流，这一推广非常了不起，它成为了理解里奇流奇点的基本工具。佩雷尔曼（Grigori Perelman）进一步发展了这一理论，成为研究庞加莱猜想的基本工具。

我对几何分析的第二个贡献是极小曲面理论。我从合作者那里学到了很多，他们是：莱昂·西蒙（Leon Simon）、孙理察（Richard Schoen）、凯伦·乌伦贝克（Karen Uhlenbeck）和威廉·米克斯（William Meeks）。

这是一个美妙的课题，可以追溯到第一位菲尔兹奖得主杰西·道格拉斯（Jesse Douglas）甚至更早的研究。我的老师查尔斯·莫里（Charles Morrey）于 1949 年为二维极小曲面做了一些基础性工作。在道格拉斯-拉多（Douglas-Radó）和莫里的基础工作之后，又有了萨克斯-乌伦贝克（Sacks- Uhlenbeck）、米克斯-丘（Meeks-Yau）和米克斯-西蒙-丘（Meeks-Simon-Yau）的研究。

最后的结果表明，在相当一般的情形下，面积最小的圆盘或面积最小的球面是嵌入的。大约十年的时间里，这成为研究三维流形拓扑的重要工具，并与瑟斯顿（William Paul Thurston）和戈登（Cameron Gordon）的工作相结合，解决了著名的“史密斯猜想”，该猜想声称三维球面的有限对称性是线性的。孙理察和我利用某种类型的极小曲面的存在性来解决广义相对论中的正质量猜想。这个猜想在广义相对论的理论中展示了（孤立的物理）时空的稳定性。在证明过程中，我们引入了几个概念：

利用极小曲面的方法来理解时空的拓扑结构，特别是，它引发了对具有正数量曲率的流形的拓扑结构的研究。我们引入了几何手术（geometric surgery）的概念，这允许我们对此类流形的拓扑研究约化为研究自旋配边（spin cobordism，格罗莫夫-劳森（Gromov-Lawson）随后发现的观察结果）。

通过我们称之为 Jang 方程的方法，来理解黑洞的形成。事实上，我们第一个证明了，当物质密度足够大时（这个证明与物质状态无关）必存在黑洞。人们常常理所当然的认为，我们这个叙述是显而易见的，类似报道广泛见于各类媒体。但是直到 80 年代，几乎没有任何天文学家认为黑洞存在。媒体似乎都忽视了，这是广义相对论得出来的重要结论，必须要从广义相对论的第一原则出发来验证这一概念。

我在普林斯顿高等研究院就这项工作举办了一个讨论班。几位优秀的博士后，包括安迪·斯特鲁明格（Andy Strominger）、加里·霍洛维茨（Gary Horowitz）以及德梅特里奥斯·克里斯托多罗（Demetrios Christodoulou）都对这项工作很感兴趣。克里斯托多罗告诉我，他的论文导师约翰·惠勒（John Wheeler）建议他研究这个问题。三十年后，他成功完成了一篇关于引力波碰撞如何产生黑洞的精彩论文。

最近，包括罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）在内的几位学者凭借引力辐射波和黑洞阴影的发现获得诺贝尔奖。彭罗斯引入了一个我们都使用的基本概念，即闭俘获面（closed trapped surface）。在有关黑洞的讨论中，我很高兴邵逸夫奖提到了我和孙理察有关黑洞存在机制的工作。

对于任何半径为 的空间 ，只要

物 质 密 度

则 中必须包含一个黑洞。

理察一直是我最好的朋友和搭档，我从他那里学到了很多，我真心感激我们几十年来的合作。

研究之外，我们一起培养和训练学生，他的许多学生已经将几何分析这个课题推进得比我们之前完成的要深入得多。几何分析这门学科仍在迅速发展，不断为数学的许多不同分支做出贡献。

刚离开研究院时，我们开启了几何分析的新时代，令人欣慰的是，它已经逐渐成长为拥有许多分支的大树，并且解决了不少重大问题。

我仍然记得和理察一起完成正质量猜想论文的那段美好时光。那是 1979 年夏天的帕洛阿托（Palo Alto），我们住在 Doris 朋友位于洛思阿图斯（Los Altos）的大房子里。白天我们努力工作，晚饭后，就在游泳池里游泳。那是一种理想的研究生活，当时我们都很年轻。遗憾的是，后来我到了哈佛，孙理察留在加州，我们见面的次数变少了。

在哈佛期间，我受到了物理系许多同事的很多影响，花费了不少功夫研究弦理论和代数几何的相关问题。我还成为了物理系的一员，这令我十分自豪。物理学家往往会提出令数学家倍感新奇的新概念，反之亦然。这着实令人着迷。

物理学家喜欢迅速跨步前进，希望早日达成目标，但他们却很少能够给出让数学家们信服的证明，量子场理论中的许多观点尤其如此。

最令人惊讶的是，一旦优秀物理学家的陈述被转化为数学语言，数学家们能够对这些陈述中的大部分提供证明。

这验证了他们的物理直觉，说明他们的理论离真相并不遥远。这一点很重要，因为弦理论中的许多陈述远远超出了当前的实验能力和水平。

1976 年，我证明了卡拉比猜想，我认为这是构造爱因斯坦方程解的一种方法：

卡拉比猜想的证明解决了许多代数几何这一领域中多年来悬而未决的重要问题。数学界为之一振，它的证明也被视作是现代几何分析的开端。

当时, 我专注于完善卡拉比猜想在各种情况下的表述，包括非紧流形和奇异流形。其中的一些成果在赫尔辛基举办的国际数学家大会上公布。1979 年，我应邀组织普林斯顿高等研究院的几何特别年。我邀请了一些物理学家参加，其中大多数是斯蒂芬·霍金（Stephen Hawking）的学生。

彼时，卡拉比猜想已经广为人知。许多人想构造真空爱因斯坦方程的显式解，这些解是由卡拉比猜想所暗示的。吉本斯（Gary Gibbons）和霍金使用所谓的“威克旋转（Wick Rotation）”找到了这样的度量。卡拉比构建了一个公式来提供显式解。遗憾的是，他们只能得出这种流形的非紧版本。

我开始对如何在物理中运用这些紧里奇平坦流形产生了兴趣。1980 年，我成为了普林斯顿高等研究院的教授。那里有一大批优秀的年轻博士后，包括安迪·施特罗明格（Andy Strominger）、加里·霍洛维茨（Gary Horowitz）和马尔科姆·佩里（Malcom Perry）。霍洛维茨是我的助手，他告诉我有位来自麻省理工学院的杰出年轻人，叫安迪·施特罗明格，非常了解超引力，如果能从他那里学到更多关于超对称的知识，将是一件很棒的事情。我很好奇，于是我们邀请安迪在我的几何研讨会上作报告，之后我们共进了晚餐。

我问他们，这些具有零里奇曲率的紧凯勒流形是否可以用于物理学，得到的回答是否定的。但这些我费心构建的优雅的几何结构，怎么可能不被大自然认可呢？我想我会等到比他们两位思想更加开放包容的物理学家。

1984 年，我去圣地亚哥探亲，前往我妻子的办公室，窗外就是蔚蓝的大海。我打电话给我的秘书安德伍德女士，询问普林斯顿高等研究院那边是否有事情需要处理。她告诉我，有两位年轻人正到处找我。于是我打电话给安迪，他迫切地希望知道我在 1981 年告诉他的事儿是否属实。他详细说明了他需要的流形的条件。当我确认那正是我所发现的条件时，他兴奋不已。

很快，我又接到了加里·霍洛维茨和爱德华·威滕（Edward Witten）的电话。威滕刚刚被普林斯顿高等研究院聘用，不久前他刚刚给出了正质量猜想的新证明。他想知道有多少这样的流形存在？我告诉他，据我所知大概有三个，但可能还有更多。他激动得第二天就飞到了圣地亚哥。我们聊了一整天，我向他解释了许多这样流形的不同构造。当他离开时，他告诉我，这几天的美好时光让他联想到了量子力学初创时情景。当创造崭新的学科时，任何贡献都将被载入史册。

四位伟大的物理学家（坎德拉斯、霍洛维茨、施特罗明格和威滕）共同撰写了一篇开创性的论文，为弦理论构建了一个美丽的模型。他们将该模型中的流形称为卡拉比-丘流形。我非常感谢他们赋予我这一荣誉。一段时间之后，我觉得仿佛卡拉比已经成为了我的名字，当然这也意味着，这个模型取得了巨大的成功。

可以公平地说，如果没有弦论学家的工作，我们对卡拉比-丘流形的理解会大打折扣，它恰恰是代数几何中非常重要的一类流形。另一方面，如果没有数学家的参与，弦论学家也不会如此信心满满的推进这个崭新的理论。

在过去的四十年中，我们见证了数学和物理之间的美妙合作，就像 18、19 世纪的伟大科学家们一样。

1985 年春天，位于芝加哥的美国阿贡国家实验室召开了一次非常重要的会议。理论物理界的知名学者几乎悉数到场。我受邀作报告，讲述了这些六维流形的拓扑型可能是有限的，但肯定超过一万个,这难免让听众感到有些失望。

无论如何，我构建了一个欧拉数等于 的卡拉比-丘流形。这是个不错的结果，意味着有三个费米子家族，正与人们在自然界观察到的现象一致。与此同时，我与乌伦贝克合作，完成了关于稳定向量丛上存在厄米特-杨振宁-米尔斯联络（Hermitian Yang-Mills Connections）的工作。对于这个十分自然的结构，我告诉威腾（Edward Witten），它将对弦论具有重要的意义。他否定了我的想法。一年之后，他完成了一篇关于异构弦理论中这种向量丛的意义的论文。这类向量丛对于代数几何也很重要。

凯勒-爱因斯坦度量、厄米特-杨振宁-米尔斯联络的引入，可以视为现代几何分析的一个主要应用:代数几何中的非线性分析。部分推论到现在也还无法通过传统代数几何方法达到，因为它很多时候只处理有限维的对象。两个主要的例子是，球商代数流形的陈数刻画，以及射影平坦代数丛的陈数刻画。

四十年过去了，凯勒-爱因斯坦度量、厄米特-杨振宁-米尔斯联络仍然是实现这些结果的唯一方法。我认为，主要原因是代数方法仍然难以处理具有无限基本群的代数流形。

此后，奈杰尔·希钦（Nigel Hitchin）引入了希格斯场的概念。与厄米特-杨振宁-米尔斯理论结合，成为研究模空间方面问题的有效的工具，卡洛斯·辛普森（Carlos Simpson）的工作印证了这一点。希格斯场背后的分析基本上与厄米特-杨振宁-米尔斯场相同。弦论对于数学的第一个主要影响是镜对称的看法。

有一次，我的博士后布莱恩·格林（Brian Greene）来到我的办公室，讲述了与卡姆朗·瓦法（Cumrun Vafa）的学生罗恩·布雷斯（Ron Plesser） 的共同发现，让我大吃一惊。基于共形理论，瓦法和其他学者提出了卡拉比-丘流形集合中存在对称性的可能性。格林、布雷斯通过卡拉比-丘流形的具体示例意识到了这种可能性。菲利普·坎德拉（Philip Candela）及其团队随后给出了详细的计算。

它将霍奇理论，特别是闭链的周期，与枚举几何联系了起来，开辟了枚举几何这一经典学科的新方向。对这一进展，我感到非常兴奋，开始投入弦论的数学方面的研究。坎德拉及其团队所得到的公式，为三维 5 次超曲面上的度数为 的有理曲线提供了一个很好的计数公式。这些曲线的计数与 5 次超曲面的量子上同调有关。

我还记得与瓦法、格林一起讨论这种新构造出来的上同调，他们问我叫什么合适。我开玩笑说，为了引人注目，就叫做量子上同调吧。这个名字被保留了下来，有些人甚至一度视之为最高机密。为了得到这个公式，代数几何学家努力了一个多世纪，只找到了当度数小于 3 时的公式。因此坎德拉团队得到的公式令人惊艳。

几年之后，纪梵塔尔（Alexander Givental）以及连文豪-刘克峰-丘成桐三人组分别给出了坎德拉斯公式的严格证明。（物理学家的推论更像是一种直觉，数学家并不认为它得到了验证）。这给予镜像对称这一观念极大的信心。镜像对称是弦理论中非常基本的对称性。接下来，我们可以对于更难以理解的概念进行详细的计算。与此同时，第二次弦论革命展开，膜在其中扮演了重要角色。我受邀参加位于意大利的里雅斯特的国际理论物理中心举行的一次大型会议。我试图了解最新进展，他们却十分神秘。威腾问我，某些特殊类别的膜是否自然。他指的是卡特琳·贝克-梅兰妮·贝克-安迪·斯特罗明格（Katrin Becker -Melanie Becker-Andy Strominger）提出的超对称膜。

这些极小子流形既美丽，也十分自然。（后来发现，瑞茜·哈维（Reese Harvey）和布莱恩·劳森（H. Blaine Lawson）几年前就发现了这类几何对象，且称之为特殊拉格朗日闭链。）它们并非由全纯的对象所定义。我认为这应当与卡拉比-丘镜像流形的有趣几何对象有关。

萨斯劳（Eric Zaslow）是我在哈佛时的博后，我们一起讨论了这种对偶性的意义。三维特殊拉格朗日闭链的对偶对象都是代数的。点是最基本的代数闭链，有趣的特殊拉格朗日闭链自然是一个特殊拉格朗日环面。彼时，斯特罗明格从加州大学圣巴巴拉分校来访问我，我们联手合作被称为 SYZ 计划的研究，来解释镜像对称，这项工作直至今日仍然具有影响力。一年之后，梁迺聪（Conan Leung）, 马克·格罗斯（Mark Gross）， 理查德·托马斯（Richard Thomas）来访，也为这项工作做出了重要贡献。

我的朋友希钦有一篇关于这些特殊周期链空间的文章，非常优美。文章让我们对于镜像的构造有了更加强烈的期望，当然仍然有许多细节需要补充。这让我们想到了韦依猜想（André Weil Conjecture），它制定了大纲。尽管人们已经确定了几个重要问题，但以格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）为代表的一大批杰出数学家，花费二十年时间才得以完成韦依猜想的主要部分。

稍早于我们，孔采维奇（Maxim Kontsevich）运用不同的方法，即通过导出范畴的方法提出了一种比较代数的方式来解释镜像对称。另一方面，深谷贤治（Kenji Fukaya）发展了深谷范畴，成为辛几何中的重要概念。我的学生梁迺聪带领了一批学者进一步发展了这些想法。马克·格罗斯（Mark Gross）和贝恩德·西伯特（Bernd Siebert）提出了更为宏大的代数几何方案以理解 SYZ 猜想的构造。

基于特殊拉格朗日闭链稳定性的概念，我和托马斯证明了存在特殊的拉格朗日闭链。同时，我和细野信步（Shinobu Hosono）、连文豪给出了一种适用于一般卡拉比-丘流形的镜像公式，并发展了证明这一公式的方法。萨斯劳和我建立了一个计算四次曲面上有理曲线的数量的公式，以经典模形式表达。这是模形式第一次出现在枚举几何中。计算更高亏格的代数曲线是由瓦法和他的朋友们开创的。目前，仍然没有好的公式来表达计数函数。我和山口哲（Satoshi Yamaguchi）找到了更紧凑的公式，表明它们在某种方式上是代数的。

然而，无论丘-萨斯劳公式，还是山口哲-丘公式，最初并非是以最严格的方式发现的。但在众多数学家的努力之下，它们最终被证明是有效的，并催生了有趣的研究方向。目前，我仍然在几何分析领域探索。其中一个重要方向是拟局部质量，这在广义相对论中一直是一个重大的问题。我先后和学生刘秋菊、王慕道一起合作进行这项研究。我认为我和王慕道的工作捕捉到了引力的意义。但当区域位于黑洞内部时，这仍然是个神秘的领域。王慕道、陈泊宁、王业凯进一步推进了这项工作，解决了广义相对论中定义角动量这一古老的问题。

我与哥伦比亚大学毕业的几个年轻数学家，包括亚当·雅各布（Adam Jacob）, 西尔弗斯坦（Silverstein）和特里斯坦·科林斯（Tristan Collins），继续研究超对称杨振宁-米尔斯方程。这个问题引发了许多几何学家、数学物理学家的关注。我认为这个研究方向的未来是光明的。

在过去三十年中，我也做了一些应用数学问题的研究，其中一个重要问题是我与弟弟丘成栋共同完成的非线性滤波的研究。我们找到了首个有效的计算非线性滤波的方法。对于线性滤波而言，卡尔曼（Rudolf Emil Kálmán）完成了基础性工作，线性滤波有着广泛的应用。但在真实世界滤波是非线性的，当人们做线性近似时，计算结果往往是错误的。我希望丘-丘滤波将在工业界具有更大的影响。

九十年代末，曼福德（David Mumford）离开哈佛，他的学生顾险峰留在哈佛大学计算机科学系。我成为了他的导师，并建议他使用共形几何或黎曼曲面理论来处理计算机图形。它们在处理具有复杂拓扑结构的曲面时非常有效。

目前为止，我们在 1998 年提出的共形方法已成为计算机图形学包括医学领域的一个常用工具。雷乐铭（Ronald Lui）做我的博士后期间，我指导他用准共形方法，该方法比顾-丘提出的原始共形方法更加灵活。随后，林文伟和他的学生们进行了其他方法的研究，包括使用保面积和保体积的方法。以上均对医学成像非常有帮助。

最近，人工智能蓬勃发展，使得最优传输方法变得热门起来，这促使我和顾险峰重新翻阅了过去我与郑绍远一起完成的与实蒙日-安培方程相关的仿射几何方面的研究成果。我们开发了流形学习方法。对数学家来说，人工智能是个有趣的课题。大约三十年前，金芳蓉（Fan Chung）还在贝尔实验室工作时，曾经访问我，从那之后我开始研究图论。我们致力于图的谱方面的研究。

我们还与亚历山大·格里高利岩（Alexander Grigor'yan）及其学生一起工作，也很有趣，因为我们在流形上的大部分工作，在图中都有对应物。我建议格里高利岩、林勇和穆拉诺夫·尤里（Muranov Yuri）根据图的路径研究图的一种特殊上同调。事实证明，这种上同调对生物学和材料学都非常有用。

回顾往昔，我很庆幸自己选择了数学家这个职业，也很庆幸我的父母毫无保留支持我的想法。我的太太和两个孩子十分理解我，容忍我时常出差参会、访问朋友。我的大部分工作源于合作，感谢我研究道路上的所有合作者，这些年来我获得的所有荣誉同样也属于他们。■

翻译：牛芸、王一婷、张妍审核：盛茂、李逸

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10. 丘成桐、孙理察：微分几何讲义

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