爱因斯坦如何证明勾股定理？

之前一位up主在视频中爆料：某教材中记载爱因斯坦使用质能方程证明了勾股定理。

视频一出，舆论哗然，许多人争先恐后的嘲笑出版社。实际上，爱因斯坦的确在11岁的时候就通过一种很巧妙的方法证明了勾股定理。你知道他是怎么做的吗？今天我就来介绍一下。

勾股定理可能是平面几何中最重要的一个定理了。

在一个直角三角形中，短直角边是a，长直角边是b，斜边是c，则

中国古代典籍《周髀算经》中记载：公元前1000多年，商高与周公的对话中，就谈到了这个定理，我国古人把直角三角形的的短直角边叫做“勾”，长直角边叫做“股”，把斜边叫做“弦”，因此，这个定理就被称为勾股定理了。

不过《周髀算经》中并未明确记载这个定理的证明方法。直到三国时期的数学家赵爽在《周髀算经注》中才给出了明确的证明，稍后会为大家解释这个证明。

西方一般认为最早提出勾股定理的人是古希腊的毕达哥拉斯，所以这个定理又叫做毕达哥拉斯定理。可惜，毕达哥拉斯的方法也失传了。流传下来的最早的证明是欧几里得在《几何原本》中给出的。这个证明方法稍显复杂，这里就不为大家展示了。

目前，勾股定理有400多种证明方法，同学们至少应该掌握一种方法。比如，赵爽的证明方法就非常简洁优美。他将四个直角三角形的直角边拼在一起，形成了一个大正方形，称之为弦图。

这个大正方形的边长为弦长c，所以大正方形的面积为

大正方形又是由一个小正方形（边长b-a），四个直角三角形构成的，所以面积应该等于：

如此一来，联立两个等式，得到

多么漂亮的证明啊！

说回到今天的主题：爱因斯坦是如何证明勾股定理的呢？

1949年，爱因斯坦在回忆起自己的童年时，感谢了父母给自己做的科学启蒙，例如在爱因斯坦四五岁的时候， 父母就送给他一个指南针。他幼小的心灵第一次被自然的魅力冲击，万物的背后仿佛都被一股神秘的力量控制着。爱因斯坦第一次产生了揭示万物规律的想法。

11岁时，爱因斯坦获得了一本几何书。有一天，爱因斯坦的叔叔用这本书给爱因斯坦讲解勾股定理的证明，爱因斯坦觉得这个证明太复杂了！为什么不自己提出一种更加简洁的方法呢？

爱因斯坦首先从直角顶点向直角三角形斜边做了一条垂线，将三角形分成了两个小部分橘红色部分1和绿色部分2，然后再将原来三角形标记为3。

显然，两个小三角形的面积之和等于大三角形的面积。下一步，将1、2、3三个三角形排成一排，并且以它们的斜边为边做出三个正方形，这三个正方形的边长就分别是a、b、c，面积就分别为a²、b²、c².

由于这三个图形是形状完全一样，只是大小不同的，数学上称之为相似。所以，在每一个图形中，三角形部分与方形部分的面积比应该是相同的。设这个面积比为m，则三个三角形的面积就分别是ma²、mb²、mc².

现在见证奇迹的时刻到了：前两个三角形本来就是从后一个大三角形中分割出来的，所以前两个三角形的面积和等于第三个三角形的面积，于是：

将比例系数约掉，得到：

证明完毕。

在证明过程中，爱因斯坦巧妙的使用了相似、维度等数学方法，将长度的关系转化为面积的比例，这足以体现爱因斯坦高超的数学技巧。不过值得注意的是：证明过程中，m仅仅是三角形面积与正方形面积的比例系数，与质量毫无关系，c表示三角形斜边，也与光速无关。因此这个证明过程与质能方程没有一毛钱的关系。不过，在15年之后，26岁的爱因斯坦又利用m和c这两个字母组成了物理学上最优美的方程，难道冥冥之中早有预示？