命运的数学密码
作者：老喻在加
来源：孤独大脑（ID：lonelybrain）
01
让我们来做一个好玩儿的游戏：
如上图，有蓝色、紫色、橙色三个球，分别处在一个斜坡的不同位置。
游戏规则：三个球从各自所在的位置出发，从斜坡上滚下来，最先滚到右侧的获胜。
请问：你选择哪一个？
直觉上，橙色的球在最下方，离目的地最近，当然应该选它了。
正确答案是：三个球滚下来的时间是一样的。
这其中，似乎有个隐喻：
先跑的人未必早到，早起的鸟未必先吃到虫。
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02
本文开头的那个斜坡，是一条等时曲线。
如上图，三颗球受重力影响从不同位置出发，沿着等时曲线下滑时，滑落到曲线底部所耗费的时间是一样的。
荷兰数学家、天文学家暨物理学家惠更斯，最早在1673年发现了这个秘密。
但这时，他还不知道，等时曲线，同时也是最速降线。
“最速降线”这一问题的最早提出，来自伽利略。
他想，当一个球从同一个高度的斜坡滚下来，什么样的坡滚得最快呢？
如上图，看似上面的直线距离最近，但却不是最快路线。
伽利略自己猜测，最快路线应该是个圆弧。其实并非如此。
伯努利家族的约翰.伯努利解决了这个问题，他还广发英雄帖，召集天下聪明人论剑“最速降线”，其中尤其点名了牛顿。
包括牛顿在内的几位大侠解出了难题。
有趣的是，人们发现，原来，“最速降线”就是“等时曲线”。
03
正如当年惠更斯所研究的，这类曲线其实是一种摆线，如下图：
当一个圆沿着一条直线滚动时，圆周上某一定点所形成的轨迹。
想象一下，圆上的黑点是只小蚂蚁，摆线就是小蚂蚁在圆滚动时所经历的曲线。
同样是伽利略，在没有微积分的情况下，徒手算出了摆线下方一个拱形的面积：
如何徒手？伽利略剪出了一个完整的摆线拱形，称了它的重量，然后与生成它的圆的面积作比较。
他由此得出结论：摆线的面积大约是生成它的圆面积的3倍。
这一方法的灵感，来自浴缸里的阿基米德：把体积（或面积）与重量联系起来。
后来数学家罗贝瓦尔算出，摆线拱形的面积，正是3个圆形的面积。
那么，一个摆线拱形的弧长是多少呢？
数学家及建筑师雷恩发现，是8r，也就是拱形高度2r的4倍。
雷恩参与了圣保罗大教堂重建设计，死后葬于斯地。墓碑上刻有这样的拉丁语:Si monumentum requiris，circumspice。意思是：欲寻纪念碑，请看你周围。
04
说回“最速降线”。
当我们把上面的摆线倒过来，就得到了下图：
看上图的左半截，从O到到最低点K，就是一个“最速降线”。
这类曲线有两个特点：
1、球从O滚到K的时间最短，正是伽利略要找的；
2、球从O点、或M点和N点滚到最低点K的时间都是一样的。
那么，时间是多少呢？如下：
这里面r是摆线拱高的一半，也就是形成摆线的那个滚动圆形的半径。
g是牛顿老师的重力加速度，即地表自由落体运动的加速度，为9.8 m/s²。
π 是著名的圆周率。
π，是人类理解宇宙最重要的常数之一。
这意味着，球从初始位置 M 下降到摆线槽最低点 K 所用的时间是一个常值，与初始位置无关。
仔细想想看，我们各自的命运，似乎也是个常数。
人生无常，命运如常。
05
一个人的命运是天生注定的吗？
貌似如此。
不然为什么文艺作品里，总是把“改命”作为长久的主题。
不管是童话，还是武侠片，还是迪斯尼或皮克斯的动画，或是宫廷戏，网络爽文，关键词都是：改命。
这说明了一件事儿：改变命运很难。
缺什么就吆喝什么，对个人而言如此，商家更是如此。
商家吆喝的东西全都是现实中很难实现的。
说起来，最让人感慨“命运如常”的公式，可能还是“大数定律”。
又是伯努利家族。雅各布·伯努利，于1713年完成了大数定律的证明。
人们对概率的理解如此“晚熟”，令人意外，说明我们对不确定性的理解和研究都非常稚嫩。
《数学之书》写道：骰子原本是用有蹄动物的踝骨所制，是古代产生随机数的方法之一。
直到今天，相信骰子、占卦的人还是为数众多。
大数定律“说明”了一些随机事件的均值的长期稳定性。
人们发现，在重复试验中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；
人们同时也发现，在对物理量的测量实践中，测定值的算术平均也具有稳定
性。
有趣的是，雅各布·伯努利对“大数定律”的批注：
比如说，假如你是一个骰子，假如你扔出一个1就中奖，你的一生就是不停扔骰子，那么你中奖的概率就是1/6，时间越长越接近这个数字，和你是否努力、手势是否高明、动作是否优雅，都毫无关系。
每一次扔骰子的结果很难预测，这是人生无常；
基于统计的得出某个数字的可能性，则符合大数定律，这是命运如常。
06
数学公式里既有“人生如常”的宿命论隐喻，也给出了“改命”的变量。
先看“等速曲线”的时间计算公式：
虽然上面的g和π是常数，但还是有一个与主体有关的变量“r”。
我们假设有两个r值不一样的“等速曲线”斜坡，一个是r1，一个是r2。图中r值为曲线高度一半。
每个斜坡上都有高、中、低三个高低不同的出发点。
根据“等速曲线”的时间计算公式，我们知道，圆球下降的时间变化仅取决于r，与球的初始位置无关。
所以，假如我们想让圆球下降更快，应该选r较小的斜坡。
而一旦选对了最速降线，到达目的地的时间其实和出发地（不包括直接在终点的）无关。
这是多么精确而生动的鸡汤式隐喻：赛道比赛马重要，选择比努力重要。
假如选择了正确的“最速降线”斜坡，后发者也可能先至。
而有些时候，我们的各种折腾各种努力，其实对改变命运而言是无济于事的。
当然，也只是“有时候”。
07
2010年，任正非在国外出差，他突然想给母亲打个电话，又怕母亲担心，就想着回去再打。
结果接到电话，母亲出门买菜，被车撞至重伤，不久便辞世了。
任正非说这是他一生中最大的憾事，从此以后，他都要在一个无法自拔的假设中煎熬着：
这是一个心碎的故事。
也许每个遭遇了如此飞来横祸的家庭，都有类似的“反事实假设”：要是他晚出门一分钟，要是她和邻居少聊几乎，会不会避开那场发生在一秒内的致命车祸？
2017年美国车祸死亡人数是37133人，2016年这个数字是37461。为什么这两个数字如此接近，好像死神也有KPI一样。
大数定律冷酷地依照系统，像扔骰子一样，得出一个稳定的数字。
这个数字，并不因为遇难者家属“如果......就好了”的伤感而改变。
一片森林出现火灾的次数，一个国家新生婴儿数量，一个地区晴朗的天数等等，这些重复出现的事件出现的次数，都会在一个稳定的区间内波动。
对个体而言，发生车祸是随机事件，但一个城市每年车祸数量则呈现相对稳定的结果。
大数定律像死神之手。
也有时候，像天使之手。
08
幸而，对于个体而言，也有与大数定律共舞的自身变量。就“最速降线”里的r。
打个比方吧，你自己就像一个骰子，扔出数字1你就中奖。根据概率，你的中奖机会是六分之一。
要改变中奖率，你没有办法改变大数定律，就只能改变自身的结构。
比如说，假如你变成了一个金字塔形状的骰子，就只有五个面，所以你扔出数字1的中奖概率，就提高到了1/5。
你如果把自己变成了硬币，其中一面是数字1，那么你获胜的概率就变成了二分之一。
09
说起改变自己的人生概率，和你分享一个特别触动我的传奇：关于高尔夫球手“老虎伍兹”改变自己挥杆姿势的故事。
一个顶尖球手，早就形成了自己的挥杆姿势，有些人一辈子都不会变。但是伍兹不这么想，在他赢得多次大满贯冠军之后，仍然主动改变挥杆姿势。
作出这个选择可谓相当艰难，为什么？因为球手在这个过程中，必须和原来的旧习惯抗衡，还要冒着成绩下滑的风险。
在人们质疑他的改变时，他说自己是：“先退后进，然后大踏步前进。”
假如你永远按照老的挥杆姿势，就像持续扔一个结构没有变化的骰子，很难有大的突破。
而老虎伍兹，在已经非常成功的基础上，依然勇敢改变自身概率，调整挥杆姿势，从底层重新构建自己的击球优势。
如果他不作改变，因为伤痛和年龄的限制，伍兹就很难再次回到巅峰。
就像我们刚才说的，从系统层面上，把自己变成了一个中奖概率更高的骰子。这种改变往往是痛苦的，但更是脱胎换骨的。
正因为伍兹面对人生有这样的勇气，所以他在经历了多次手术，遭遇了一系列人生低谷后，还能在43岁神奇般拿下美国大师赛，被称为“历史上最伟大的回归”。
10
英国作家白哲特说，生活是概率的大学校。
在这个学校里，我们每个人不应该甘心当一个被扔来扔去的骰子，被大数定律支配命运，而是要去努力探寻人生的概率。
人生无常，但我们仍然能够从中发现某些模式；
命运如常，但对个体而言最大的“常数”就是你自己。
当然，对于绝大多数人而言，改变自己，比改变常数π还难。
也许是因为，有些时候，我们并没有必要那么慌里慌张地为难自己。
前提是你选对了“最速降线”。
如此一来，起跑线远点儿、近点儿无所谓。
也没必要总和身边最富的比钱多，和最傻的比快乐，和最勤奋的比拼命。
我喜欢梁冬老师院子里的一幅字：
何事惊慌？
在那辆埃隆·马斯克送向太空的的特斯拉跑车上，屏幕醒目显示着：“Don’t Panic”（不要惊慌）
我想起2006年去德国，在慕尼黑街头看见一个跑得很慢的小车，车屁股后面有一行字：想超车你就超吧，反正我们还会在下一个红绿灯再见。
作者：孤独大脑（lonelybrain），可能是最烧脑的公众号。
THE END