文物中的数学：原来数学也可以这么美｜新知
文博时空/文 文博时空 作者 徐之南
文物摄影｜杜广磊
当我们想到文物，往往会联想到历史、文化和艺术，很少有人会将数学与文物联系起来。然而，在世界各地的博物馆和考古遗址中，隐藏着无数展现着数学之美的宝藏。
为了形成完美曲尺古人何以设计84度交角？古代农民如何测量土地面积和计算粮食产量？初中课本中的勾股定理从何而来？中国第一艘钢甲巡洋舰“平远号”的大功臣竟是拥有49个计数单位的“子玉算盘”？
从精美神秘的几何图案到不断精确的测量手段，从日新月异的科学技术到纷繁复杂的商业贸易，数学在文物中扮演着不可忽视的角色。我们将从“艺术与几何”“生活与测量”“科学与技术”“商业与货币”四个方面，探索文物中的数学之美。
01.艺术与几何
1. 彩陶盆
新石器时代 彩陶盆 中国考古博物馆藏
此盆为宽口折沿，敞口鼓腹，下腹往下陡收，底部为平底。彩陶盆下半部素面，唇口以下到腰部都以黑彩作画装饰，包括三角纹、圆点纹以及弧线三角纹，构成了构图复杂，变幻莫测的纹饰带。器表整体纹饰线条优美，各种图案以一定的规律进行组合，充满十足的创造性、流动性以及律动感。
此盆为庙底沟类型典型器物，庙底沟类型以各种精美的彩陶花纹著称。纹饰多点纹、弧线三角纹，对于线条的运用十分得心应手，三角纹与圆点纹的组合使用，与留白陶地形成多种多样复杂的图案，有研究认为这些图案是鸟纹的抽象化使用，是对写实装饰时期的纹饰进行动态变化之后形成的。花鸟共生纹成为庙底沟类型彩陶的鲜明特点。
更为重要的是，彩陶纹样多展现了一种周而复始的美，揭示出循环往复的规律，展开看非常漂亮。
内蒙古敖汉旗大甸子墓地出土彩绘陶尊纹饰展开示意图
2. 双人抬物纹彩陶盆
新石器时代 双人抬物纹彩陶盆 青海省博物馆藏
此陶盆为泥质红陶，内外均饰黑彩。外侧通过简单的平行带纹和单钩纹装饰，内侧绘制四组双人抬物纹。双人抬物即两人相向而立，共同抬起一个圆形的物品，因物品较重，所以两人都背部弯曲。四组纹饰之间以多条横竖条纹分割，下面以平行纹装饰。口沿处则饰以三角纹和斜线条纹。
此器外表打磨光滑，内容十分丰富，尤其是盆内的四组双人抬物纹，虽然只由简单的线条和圆形组成，却精巧的掌握了人身体的比例与弯腰抬物时的体态特征。通过线条的弯曲弧度，形象生动地勾画了远古先民的形象。关于双人抬物图像的真实含义，有学者认为是在共同劳作，搬运东西，也有学者认为反映的是更为重要的“多人共同祭祀”的场景。
3. 彩陶旋涡菱形几何纹双系壶
新石器时代 彩陶旋涡菱形几何纹双系壶 故宫博物院藏
马家窑文化半山类型陶壶。器表以红、黑两种色彩描绘纹饰，口沿内侧以黑彩绘弧形纹；颈部以黑彩绘连弧纹；肩、腹部以红、黑两彩绘四组漩涡纹，漩涡纹里面又绘制了菱形几何纹；肩部粗弦线及漩涡连线，边缘饰细密的锯齿纹。
漩涡纹起源较早，马家窑文化时期的先民将其发展到了另一个变幻莫测，独具风采的阶段。一般认为它起源于自然界的水涡，常用多个旋涡组成整体纹样，连接起来宛若河流一样流畅生动，富有动感，引人注目，令人深思。
4. 复道三角纹圜底彩陶罐
夏朝 复道三角纹圜底彩陶罐 甘肃省博物馆藏
齐家文化时期彩陶罐，材质为夹砂橙黄陶，罐为侈口双耳，通体施彩作装饰。自上而下，自内而外均有纹饰，先是在口沿内外各绘制了一圈倒三角网纹，双耳处绘制的是折带纹。整个罐身最大面积的装饰便是其腹部的三角纹饰的组合，自颈部至底部，以紫红彩两面分层绘复道三角纹，各层之间用平行线分隔，腹两侧绘菱形网纹。
此罐通体图案皆由平行线组成，通过倾斜程度不同的多条平行线的组合，最终形成的是正倒相向的复道三角纹，是齐家文化的一种常见纹饰，齐家文化是甘肃地区在迈入青铜时代所形成的文化类型。这种纹饰虽繁缛但不杂乱，复杂中亦有简练的纹路，似树木的纹样，装饰感十足，也有研究根据其他遗址中出土的复道三角纹的草编器推测，这种纹饰的灵感便是草编器。
5. 垂幛纹双耳铜方彝
西周 垂幛纹双耳铜方彝 沂源博物馆藏
器身为子口，口部微收，方唇；腹部偏方，中下部略外鼓，肩部两侧各置一半环形耳，平底，长方形圈足，微外撇。器身四角均有两矮扉棱。颈部四面各有变体夔龙纹一对。腹部四壁中心均饰半月形垂幛纹，其间填以弧状凸棱纹，两侧饰叶脉状几何纹，圈足四面饰“之”字形几何纹。盖为母口，盝顶，顶上为圆形捉纽。盖四角各有一矮扉棱，盖的四面及顶部均饰有半月形垂幛纹。纹样繁饰精美，此类铜方彝在西周青铜器中并不多见。
6. 错金银几何云纹铜壶
战国 错金银几何云纹铜壶 中国国家博物馆藏
这是一件精心设计的盛酒器，它将金银两种金属的色差巧妙地运用在装饰上，将复杂的构图与色调的平衡完美融合，展现了战国时期青铜工艺的高超水平。其表面装饰着金银错几何云纹，这种纹饰不同于传统的青铜器云纹，它在保持几何图案严谨规则的同时，还追求着变化与多样性。这种独特的设计风格赋予了器物节奏感和律动美，使之看起来更加清新活泼。这种几何图案的创新，是战国秦汉时期金银错工艺的一大艺术成就。
7. 错金银铜虎噬鹿屏座
战国 错金银铜虎噬鹿屏座 河北博物院藏
该器是战国中山国最鼎盛时期的国王墓葬中出土的一件稀世珍宝，从气势上可见当时中山国的强盛。这件器座的主体是一只凶猛的老虎，它双目炯炯有神，两耳竖直，正在吞食一只柔弱的小鹿。小鹿在虎口中奋力挣扎，短尾上翘，但始终无法挣脱，显得异常凄然。老虎的后肢用力蹬地，前躯下踞，整个身体呈现出优雅的弧形。它的右前爪因抓住小鹿而悬空，而整个器座的平衡则巧妙地借助了鹿腿来支撑。整个器物的构思既巧妙又自然，展现了极高的艺术水准。
老虎和小鹿的皮毛斑纹都是用金银精心镶错而成，使得它们的形象生动逼真，仿佛就在眼前。在老虎的项部和臀部，各有一个长方形銎，銎的两侧装饰着山羊的头面，山羊的嘴巴正好与銎口相吻合。这两个銎口的直线相交，形成了84度的交角，接近直角，如果安上屏扇，就会形成一个完美的曲尺形。
小帐及屏风复原示意图
8. 七牛虎耳青铜贮贝器
西汉 七牛虎耳青铜贮贝器 中国国家博物馆藏
贮贝器是一种滇国特有的青铜器，主要用来盛装货币——贝壳。这是一件造型独特的虎耳束腰筒形贮贝器，它的器盖直径与器身底径大致相等，设计精巧，使得器盖与器身能够紧密扣合，无一丝缝隙。器盖上，一个精致的小铜鼓作为盖钮，其上站立着一头雄壮的牛，另外六头牛则环绕在器盖边缘，首尾相接，从上方俯瞰，六头牛的牛身形成了一个完美的六边形。铜鼓之上的那头牛将这个六边形巧妙地划分为两个等腰梯形，这样的设计充满了几何的美感。器身的三只兽爪型矮足，更加增添了其稳重之感。
器身最细的腰线两侧，各焊铸了一只猛虎，作为器耳。这两只猛虎均朝上，张开了虎口，仿佛在咆哮。其中一只虎的尾巴向下伸展，轻轻贴靠在器身靠下的器壁上，而另一只虎的尾巴则向身体内卷缩，尾尖轻触器身中部略下的器壁。虎耳的流线型设计与束腰筒形器身的简约风格形成了互补，更显和谐。
02.生活与测量
9. 商鞅方升
战国 商鞅方升 上海博物馆藏
战国时期，各国度量衡的标准不一，给工商业发展带来很大不便。商鞅变法前，秦国各地度量衡不统一。为了保证国家的赋税收入，商鞅制造了标准的度量衡器，要求全国统一施行。
“爰积十六尊（寸）五分尊（寸）之一为升”。从“商鞅量”中得知，商鞅规定的1标准尺约合今0.23公尺，1标准升约合今0.2公升。由量器及其铭文可知，当时统一度量衡一事是十分严肃认真的。商鞅还统一了斗、桶、权、衡、丈、尺等度量衡。要求秦国人必须严格执行，不得违犯。
10. 玉大带
五代 玉大带 四川博物院藏
玉大带出土于四川省成都市西郊王建墓，王建是五代时前蜀国的开国皇帝。王建墓是中国首次科学考古发掘的古代帝王陵墓，同时也是迄今为止发掘的历史年代最早的古代帝王陵墓，规模宏大，保存完整，堪称中国古代建筑史上的一大杰作。
其墓出土的玉大带是我国迄今发现的唯一一件皇帝用过的腰带，是兼具历史价值和艺术价值的国宝级文物。此带由七方銙（kuǎ）、一方䤩（chá）尾、两节革带（后配）和一对银扣组成，䤩尾背面所刻铭文记载了玉大带火中幸存的故事。据说有一次王建的寝宫着火，大火过后，楼体变成一堆瓦砾，珍宝化为灰烬。但是这块玉石却依然崭新如故。王建认为这块玉是吉兆，于是命工匠将玉石制作成一条玉带。
玉带记载了铊尾和玉銙的尺寸，为研究唐五代的度量及带制提供了宝贵的史料佐证。玉板上所刻龙纹身躯蜷曲，颇具动感，龙的神态刻画细致，极具威严，是五代时期玉雕的精品。
11. 日晷
明 日晷 故宫博物院藏
中国古代利用日影测定时刻的计时器，“晷”字，古意是太阳的影子。故宫所设日晷象征皇帝一统授时之意，分设在午门、太和殿、乾清宫、坤定宫、养心殿、慈宁宫、皇极殿、养性殿、颐和轩等处，日晷均为赤道式日晷。用于宫殿前亦有皇权的象征，一般与嘉量并列于左右，象征天地一统，江山永固。
“日晷”是利用地球自转并绕太阳公转的原理制成的。日晷有根铁制的指针，装在晷盘的中心处，指针的上端指向北极，下端指南极。在盘上，以晷针与盘的交点为中心，均匀地划分出二十四条时刻线（线的间隔为15度），则晷盘相当于赤道面，二十四条时刻线相当于一天的二十四小时。晷盘上、下两面都刻有地支的子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个字，每字分为八刻，前四刻为初，后四刻为正，每刻相当于15分钟。如太阳正午时，指针的投影正落在午初和午正分界的刻度上，即正午（中午12点钟）。晷盘上的指针投影，上面的由早到晚是向左转，下面的投影则向右转。每年春分后即春夏两季看晷盘上面字，秋分后即秋冬季看晷盘下面字。
12. 西汉水钟
青铜刻漏
青铜温鼎
青铜镜晷
海昏侯墓中出土了一座世界上最古老的滴水计时工具——水钟。这座庞大的水钟，有计时、报时和校时三个功能，主要部件包括：青铜刻漏、青铜悬壶、青铜提梁尊、青铜镜晷、青铜釜、青铜温鼎、青铜錞于等。其规模之大，构件之多，设计之巧，装饰之美，都是中国古代青铜器中罕见的。
水钟在中国又叫做“刻漏”“漏壶”。根据等时性原理滴水计时有两种方法，一种是利用特殊容器记录把水漏完的时间（泄水型），另一种是底部不开口的容器，记录它用多少时间把水装满（受水型）。中国的水钟，最先是泄水型，后来泄水型与受水型同时并用或两者合一。自公元85年左右，浮子上装有漏箭的受水型漏壶逐渐流行，甚至到处使用。
“刻漏”，俗称滴漏，也称“漏壶”“漏刻”。它的计时精度可以达到一刻甚至半刻。古时一日分为十二个时辰，亦分为100刻，一刻就相当于现在的十四分钟左右。这个刻漏属于泄水型的，即在壶里灌满水后，下面的水嘴开始缓慢向外滴水，而壶内有一把如同尺子一样的漏剑，也叫漏尺，上面有刻度，底下有浮子。随着水的流失，浮子带动漏剑逐渐下沉。人们依据下沉的刻度直观地测出准确的时间。这个刻漏在整个“水钟”里是“校时器”，可以起到校正滴水速度的作用。
03.科学与技术
13. 《授时历》
元 授时历
《授时历》是在至元十八年（1281）开始使用的元朝历法，沿用400多年，是我国古代流行时间最长的一部历法，也是我国古代最卓越的一部历法。在许衡领导下，由郭守敬、王恂等人，在科学观测的基础上，参考历代历法编订的。取《尚书》“敬授民时”之意，订名为《授时历》。
《授时历》是我国古代创制的最精密的历法，用郭守敬自己的话说，《授时历》“考正者七事”“创法者五事”。
考正者七事，一是精确地测定了至公元1280年的冬至时刻。二是给出了回归年长度及岁差常数，即第一年冬至到第二年冬至的时间为365日24刻25分。三是测定了冬至日太阳的位置，认为太阳在冬至点速度最高，在夏至点速度最低。四是测定了月亮在近地点时刻。五是测定了冬至前月亮过升交点的时刻。六是测定了二十八宿距星的度数。七是测定了二十四节气时元大都日出日没时刻及昼夜时间长短。
创法五事，一是求出了太阳在黄赤道上的运行速度。二是求出了月球每日绕地球运行的速度。三是从太阳的黄道经度推算出赤道经度。四是从太阳的黄道经度推算赤道纬度。五是求月道和赤道交点的位置。
《授时历》采用的天文数据是相当精确的。如郭守敬等重新测定的黄赤交角为古度23.9030度，约折合今度23.3334度，与理论推算值的误差仅为1分36秒。
14. 秦简《数》
秦 秦简《数》 湖南大学岳麓书院藏
秦朝官吏，为了进行分配土地和收取租税的工作，必须懂得土地面积的测量和计算方法。秦简《数》作为秦朝官员学习这些数学知识的教材，并不是当时的最高数学成就，这足以说明中国早期数学水平比我们原本想象的要高得多。“利用水作为体积换算、割补术算圆面积、棱锥与棱台的体积计算公式、化除为乘，分次平方运算……”这些数学知识囊括了代数学、几何学、概率论等细分领域。
最先颠覆我们常识的是勾股定理。约成书于公元前1世纪的《周髀算经》，记载西周初年数学家商高在回答周公的问题时说：“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五……故禹之所以治天下者，此数之所生也。”由此出现了勾股定理。回看秦简《数》中有一例算题“圆材薶地”，也呈现了勾股定理，并且比《周髀算经》早一两百年。
15. 《周髀算经》
西汉 《周髀算经》清初影宋抄本版本 辽宁省图书馆藏
《周髀算经》约成书于公元前2世纪，原名《周髀》，唐初规定它为国子监明算科教材之一。其书以数学成果“勾股定理”和古代中国的宇宙构成理论“盖天说”闻名天下。历代多位数学家都曾为此书作注，其中最著名的是唐代数学家李淳风等人所作的注。
《周髀算经》采用最简便可行的方法确定天文历法，揭示日月星辰的运行规律，囊括四季更替，气候变化，包含南北有极，昼夜相推的道理。给后来者生活作息提供有力的保障，比如，《周髀算经》中介绍的测量术和内插法。测量术是一种测量土地面积和计算粮食产量的方法，而内插法则是通过已知的数值推算未知数值的方法。这些方法在古代中国的农业生产和生活中具有重要意义。自此以后历代数学家无不以《周髀算经》为参考，在此基础上不断创新和发展。
04.商业与货币
16. “安邑一釿”铜桥足布
战国魏 “安邑一釿”铜桥足布 中国国家博物馆藏
通长5.5厘米，重13.65克。战国早期魏国铸币。面文“安邑一釿”，安邑，地名，今山西夏县西北，是战国初年魏国都城所在，《史记》 魏世家及秦本纪都有所载。
“釿”是为古代金属重量名，亦是货币单位。中国战国时期东方各国多以“釿”为单位，直到秦统一六国后，统一衡制时被废除。桥足布多为三等制，此安邑桥足布就有半釿、一釿、二釿三种标度，其币值、大小、重量依次递增，在商品交易过程中，更便于流通使用，是先秦货币制度上的一大进步。
17. “齐返邦大刀”铜刀币
战国齐 “齐返邦大刀”铜刀币 中国国家博物馆藏
在荡剧变的五百余年中，齐国两次成为霸主是有其雄厚的经济基础的。为满足经济发展需求，齐国铸造、发行了多种货币，可大致分为实物货币、金属称量货币、贝币、刀币与圜钱五大类，共同构成了齐国独具特色的货币体系。
此件齐返邦大刀铜钱是战国中晚期齐国铸币，曾为清代著名收藏家陈介祺收藏，收录于李佐贤所著《古泉汇》。这种六字铭文的刀币俗称六字刀，背部刀身与刀 柄外缘一体相连，与早期齐刀刀身脊背与刀柄的外缘断于相交处有别，面文，曾有多种释读，尤其第二个字有 “通”“徙”“途”“进”“建”“造”等诸多解释，今多数学者认同释“返”，齐返邦含收复失地之意，由此推断刀币铭文记录的是燕国灭齐，平安君田单帮助齐襄王复国的历史事件，刀币也被视为目前所知最早的纪念币。此钱开纪念币之先河，丰富了我国的货币文化，对后世钱币的发展演变产生了重要影响。
18. 金代圣旨回易交钞铜钞板
金 圣旨回易交钞铜钞板 中国钱币博物馆藏
金代“圣旨回易交钞”铜钞版（残），重2356.5克，残长143毫米，宽161.5毫米，是世界上最早的钞板。这块钞版所印纸币是与白银兑换的，钞版上的面额为“银壹两”，在“银壹两”两侧用九叠篆对称书写“伪造者斩，赏银伍锭”。
金代发行纸币早于铜钱铸造，纸币与铜钱一起流通，先后发行过交钞、贞祐宝券、贞祐通宝等多种纸币。金代纸币最初以七年为界，到期换领新钞。金世宗大定二十九年取消分界，发行的纸币无限期流通，在中国纸币发展史上具有划时代的意义。在金取消纸币分界六十年之后，南宋会子才开始无限期流通。
19. 象牙算筹
春秋 象牙算筹 陕西历史博物馆藏
象牙算筹1983年出土于陕西旬阳县汉代墓葬中，一共出土28枚，长13.5厘米，直径0.4厘米，两端齐整、通体磨光、长短相等、粗细均匀。由于是象牙质地，呈乳白色，因骨质文物脱水快，容易变形和开裂，文保人员把它们封护于有机玻璃保护盒中，以保持适宜的湿度。
算筹的使用时间较早。在春秋战国时期就有文献记载，使用已相当普遍。用“算筹”进行计算称作“筹算”，这是中国古代算盘出现之前的计算工具，算式有横式和纵式两种。横着的一根代表一，竖起的一根代表五，遇“0”则空，严格遵从十进位制。中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的发明。
20. 子玉算盘
清 子玉算盘 江苏南通中国珠算博物馆馆藏
此子玉算盘，是49档算盘，长80厘米，宽20.2厘米，厚2.5厘米。红木质地，通体黝黑，呈现温润的光泽，而且木质坚硬沉手。算盘上刻有“子玉学历记福海春长署斋”和“子玉学历记福海春长之署”的款识。这是目前为止所发现的，唯一完整标有古代计数单位及进制方法的算盘，也是唯一在梁上设四颗算珠的算盘。
算盘是我国古代劳动人民的发明创造，它萌于商周，始于秦汉，成于唐宋，盛于元明。明代中后期取代算筹成为我国主要计算工具，对促进我国社会经济发展发挥了重要作用。
“子玉算盘”是周懋琦为解决造舰过程中一般算盘无法满足“平远号”设计中遇到的大量繁复、艰深的设计计算问题而特地设计、制造的算盘，后以周懋琦的号“子玉”命名。其梁和边框上标有49个大小不同的计数单位，以及“小数和、中数、大数”进制方法，这也是子玉款算盘的文物价值和研究价值所在。但这些计数单位和进制方法如今极少见到。
自右向左依次标有“太极”至“周复”共49个计数单位：
太极、太初、太始、太素、净、清、空、虚、六德、刹那、瞬息、弹指、须臾、逡巡、模糊、漠、渺、埃、尘、沙、纤、微、忽、丝、毫、厘、分、壹、十、百、千、万、亿、兆、京、陔、秭、壤、沟、涧、正、载、极、恒河沙、阿僧祗、那由他、不可思议、无量数、周复。
在第二次鸦片战争之后，洋务运动兴起，近代中国第一座海军船厂——福州船政局成立，周懋琦奉命担任船政提调，和留学归来的技术人员一起设计了中国第一艘钢甲巡洋舰“平远号”。算盘的梁和边框上刻有非常详尽的计量单位、进位关系和计算方法，极为罕见，具有极高的数学研究价值。
图片 | 杜广磊
排版 | 小谢
设计 | 尹莉莎
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