閱讀數學／如何把粽子塞滿冰箱？

粽子示意图。图／报系资料照

端午节的时候，你家冰箱塞满粽子吗？粽子的形状非常接近「正四面体」。古希腊哲学家亚里斯多德曾经相信：把正四面体东拼西凑、互相堆叠，就可以布满整个空间。可是，后世的数学家发现亚里斯多德是错的——正四面体不可能布满整个空间！既然没办法布满，那么冰箱里最多可以塞进多少颗正四面体粽子呢？粽子塞进去以后，冷冻库内部空间的密度，最大是多少？

▍难倒数学家的「最密堆积」问题

这类问题，在数学上称为「最密堆积」问题。1900 年，数学家希尔伯特发表《希尔伯特的 23 道问题》，罗列了当时未能解决的数学难题。其中的〈第 18 道问题〉就包含了一道最密堆积问题。先想像一下「正方体」与「长方体」箱子。它们可以轻松布满整个空间（假设空间无限延伸）。它们的「堆积密度」达到100%。「正四面体」与「球体」则无法布满整个空间，只能退而求其次，找出最密的堆法。目前已经证明：球体的最大堆积密度约是 74.05%，不管怎样都一定会留下缝隙。

▍正四面体的最密堆积

相较之下，「正四面体」的最密堆积，比球体还要困难得多。2006 年，数学家透过理论推导，找到一种密度大约是 72% 的堆法；2010 年，有研究团队把实体的四面骰放进容器里，发现密度可以达到 76%。2010年，又有人找到了密度为 85.63% 的堆法。这个纪录就这样保持到现在。

假设你家冰箱冷冻库的内部尺寸是 40 × 40 × 30 cm³，而且今年购买的粽子都是边长 11.3 cm 的正四面体。由于冰箱内部不是无限延伸的空间，我们假设距离内壁 2.5 cm 以内的空间会有一些粽子的边边角角，无法再塞入完整的粽子。扣掉上下左右前后各 2.5 cm，实际能塞进粽子的空间，容积只有 (40 - 5)(40 - 5)(30 - 5) = 35 × 35 × 25 = 30625 cm³。但这个空间最多又只能塞满 85.63%，所以能塞入的粽子体积大约只有 30625 × 85.63% = 26224 cm³。一个边长为 11.3 cm 的正四面体粽子，体积约为 170 cm³。将 26224 除以 170，可得 154.55。也就是说，理论上冷冻库里可以塞进超过 150 颗粽子！

本篇文章与数感实验室余孟珂共同完成。