广义逆理论的几位先驱者及其有关工作

本文介绍广义逆研究中几位相关数学家的生平简介及他们与广义逆有关的工作。

撰文 | 陈建龙、吴藏

01

Eliakim Hastings Moore(1862.01.26-1932.12.30)，美国近代数学领袖之一，曾任美国数学会主席。

Moore出生于美国俄亥俄州玛丽埃塔，他对数学的兴趣，起源于他高中时的一份暑期工作。有一年夏天，他给辛辛那提天文台台长当助手，从那时起，他决定要在大学学习数学和天文学。

1883 年，Moore本科毕业于耶鲁大学，之后留在耶鲁攻读博士学位，师从Hubert Anson Newton，并于1885年获得博士学位。Newton鼓励Moore去欧洲游学一年，并资助了他的旅费。在那个年代，欧洲是世界数学研究的中心，美国学者常常不得不在欧洲接受培训。Moore在德国度过了这一年，在大部分时间里，他都在柏林大学聆听克罗内克和魏尔斯特拉斯的讲座。回到美国后，Moore在西北大学、耶鲁大学任教。1892 年，Moore被任命为芝加哥大学数学系教授和代理系主任。他在芝加哥建立了自己的研究机构，第一次为美国数学家提供了在美国的研究密集型环境中接受培训的机会。

1893 年，Moore作为主要组织者之一，筹办了第一届国际数学大会。随后，他找到纽约数学协会，希望出版大会论文集。他说服该学会扮演更全国性的角色，并将其更名为美国数学学会。在他的领导下，学会成立了芝加哥分会，他还帮助学会将业务扩展到全美各地。他成为美国数学会的坚定支持者，并在1898 年至 1900 年担任副主席，1901 年至 1902 年担任主席。R.C. Archibald在《美国数学学会半世纪史 1888-1938》中这样总结过Moore的贡献：“Moore是一位非凡的天才，他生动、富有想象力、富有同情心，在使美国数学家摆脱对外国大学的依赖，以及在建立一个充满活力的美国学派，吸引来自世界各地的工作者方面，他是最重要的领导者。”

Moore首先注意到矩阵广义逆的存在，他为每个有限矩阵定义了一个唯一的广义逆（他称之为“广义倒数”）。虽然他关于这个问题的第一份出版物是1920年在美国数学学会会议上发表的演讲摘要，但一般认为他早在1906年就得到了这一结果。

Moore的这项工作在之后的30年里，很少得到人们的注意。在此期间，西格尔、曾远荣、冯·诺伊曼等人相继研究了矩阵、算子的广义逆。20 世纪 50 年代，随着一些广义逆的最小二乘性质的发现，人们重新发现了Moore的工作，并掀起了广义逆研究的高潮。

02

Roger Penrose(1931.08.08-）英国数学物理学家、牛津大学数学系名誉教授、诺贝尔物理学奖得主。

Penrose出生于英国埃塞克斯郡的科尔切斯特，他的父亲Lionel Penrose是英国知名的遗传学专家、精神病学专家、数学家。P. Penrose本科毕业于英国伦敦大学学院，1957年获得剑桥大学博士学位。Penrose以《引力坍塌和时空奇点》为代表的一系列论文，和著名数学物理学家斯蒂芬·霍金一起创立了现代宇宙论的数学结构理论。1972年入选伦敦皇家学会会员。他和霍金一起证明了奇点定理, 二人因此获得了1988年的沃尔夫物理学奖。

1994年，Penrose被伊利莎白二世封为爵士。2020年，Penrose因对黑洞现象的理论物理解释，获得诺贝尔物理学奖。

1955年，尚在攻读博士学位的Penrose，借助四个矩阵方程定义了一类矩阵广义逆。R. Rado于1956年指出这一广义逆等同于Moore 所定义的“广义倒数”，后来人们称这一广义逆为Moore-Penrose逆。1956年，Penrose 得到了Moore-Penrose逆在线性方程组求解问题中的重要应用，即其可用来表示线性方程组 x= 的极小范数最小二乘解。Penrose的这两个工作极大地推动了广义逆理论的发展。Penrose对于广义逆理论的另一个重要贡献是，他与W. D. Munn给出了逆半群（即任意元素有且只有一个自反逆的半群）的若干等价刻画。

03

M.P. Drazin（左）和P.G. Drazin（右）

Michael Peter Drazin（1929.06.05-），美国著名数学家。Drazin出生于英国伦敦，是家中的长子，他的弟弟Philip Gerald Drazin（1934–2002）也是一位数学家，后来成为英国流体力学的领军人物。

Drazin于1950年获得剑桥大学学士学位，1953年获得硕士学位，同年被授予博士学位，师从Robert Rankin和David Rees（半群理论的先驱），学位论文题为《Contributions to Abstract Algebra》。

1952年至1956年，Drazin担任剑桥大学三一学院的研究员。1955年，Penrose的著名论文“A generalized inverse for matrices”发表在Proceedings of the Cambridge Philosophical Society上，这背后也有着Drazin的身影。Penrose在文章结尾写道：“感谢 M. P. Drazin 博士在本文撰写过程中提出的有益建议和意见。”

之后，Drazin移民到美国。1957-1958年，Drazin任美国西北大学的客座讲师，期间发表了文章“Pseudo-inverses in associative rings and semigroups”，提出了另一类经典广义逆（现被人们称作Drazin逆）。随后，他在巴尔的摩高级研究所担任高级科学家，期间与Emilie Virginia Haynsworth合作，参与了美国国家标准局的数值分析项目。1962年，Drazin来到普渡大学，在此工作至退休。

Drazin现已95岁高龄，仍弦歌不辍。2012年至今，他平均每年发表一篇广义逆理论的文章。

（感谢复旦大学魏益民教授提供的M.P. Drazin的相片。）

04

Calyampudi Radhakrishna Rao(1920.09.10—2023.08.22)，印度裔美国数学家，美国科学院院士，英国皇家统计学会会员，当代国际最著名的统计学家之一，师从现代统计学的奠基人费希尔。

2002年，Rao获得美国国家科学奖章，小布什（时任美国总统）为 Rao 颁发奖章，表彰他在“统计学理论的建立，多元统计分析方法及其应用方面所做的开拓性贡献，其丰富了物理学、生物学、数学、经济学和工程科学的发展”。

1945年8月6日、9日，美国在日本广岛、长崎投下两颗原子弹。之后美国国家科学院国家研究委员会被要求对原子弹爆炸幸存者的医学和生物学表现进行长期研究。这项研究始于1946年的遗传学计划，计划的任务是收集和分析幸存者所生儿童的生理特征数据，并评估可能的遗传影响，任务极具挑战性。

1954年，Rao收到了一些从日本收集的为了研究广岛和长崎的核辐射长期影响的数据。在对这些数据进行统计分析时，需要寻找一个矩阵来替代通常线性模型中的设计矩阵左乘其转置矩阵后所得矩阵的逆（这一乘积所得的矩阵是奇异矩阵，不存在逆）。1955年，Rao提出了一种伪逆，将其代替这一乘积的逆，用于表示正规方程的解。美国国家研究委员会使用Rao的分散分析方法和他在伪逆基础上开发的计算技术来计算估计值差异的标准误。委员会在1956年的研究报告中写道：统计分析大大受益于与Rao等杰出科学家的讨论和通信。

与Rao同一年（1955年），Penrose用四个矩阵方程重新定义Moore所引入的一类矩阵广义逆，这类广义逆现被称作Moore-Penrose逆。Rao伪逆满足Penrose四个方程中的前两个，但与Moore-Penrose逆是不同的广义逆。

在进一步地研究中，Rao发现对于许多应用场景来说，Rao伪逆和Moore-Penrose逆都不是必须的，使用满足更一般条件的g-逆就足够了。1962年，Rao 提出了g-逆的一般定义，研究了g-逆在数理统计中的应用。Rao在矩阵广义逆及应用这一领域持续深耕。1971年，Rao和S.K. Mitra出版专著《矩阵广义逆及其应用》。

05

曾远荣（Yuan-Yung Tseng, 1903.10.03—1994.02.02），中国泛函分析研究的创始人之一，国际算子广义逆理论的奠基者。

曾远荣生于四川省南溪县，1919-1927年就读于清华学校（清华大学前身），1927-1933年留学美国，在芝加哥大学取得硕士、博士学位，是Moore生前参与指导的最后一名博士生。曾远荣也在普林斯顿大学和耶鲁大学得到斯通和冯·诺伊曼等其他几位数学大师的教诲，深受他们的赏识。

1933年，曾远荣学成归国，先后在国立中央大学、国立清华大学、国立西南联合大学、成都燕京大学、国立四川大学任教。1950年，曾远荣受南京大学数学系主任孙光远教授聘请，到南京大学任教，直至退休。

曾远荣曾是国内《数学学报》、《数学进展》的早期编委之一（1951年），中国数学会南京分会理事会副主席。1956年，他被评为新中国首批一级教授，受中国科学院邀请，参与制定国家十年科学发展规划。

曾远荣是在西方大学接受教育的第一代中国现代数学家，也是中国在函数分析领域的第一位数学家。他在回国后将这一学科引入中国。他一生建树极深，著名的工作有：定义了任意维数的实域、复域和四元域上的线性空间及其上的Hermitian函数和双线性函数；系统研究了有界线性函数的表示、特征值和无界自相加算子的谱分析等问题；他的博士论文“The characteristic value problem of hermitian functional operators in a non-Hilbertian space”有力促进了线性算子谱分析的发展；提出了巴拿赫空间和希尔伯特空间的广义双正交系统以及算子方程近似解的概念；获得了线性算子方程的所谓极值近似解的唯一性；等等。

曾远荣最著名的工作是引入了线性算子广义逆的概念。这一广义逆被称为“曾广义逆”（Tseng inverse），在国际上具有广泛的影响。他的这一开创性工作受到他的老师Moore的影响。他是公认的算子广义逆的奠基人，而矩阵和算子的广义逆几乎在应用数学的各个领域都有大量应用。1956年冬，他去往莫斯科参加国际泛函分析会议，应邀在大会作题为《广义逆算子的固有函数展开》的报告，极受欢迎。

（感谢丁玖教授提供的关于曾远荣教授的详实资料）

作者

陈建龙，东南大学特聘教授、二级教授，博士生导师，享受国务院政府特殊津贴，教育部大学数学课程教学指导委员会委员，中国高等教育学会教育数学专业委员会副理事长。获首届全国教材建设奖——全国优秀教材二等奖，宝钢优秀教师特等奖提名奖，第四届教育部“高校青年教师奖”，国家级一流课程（两门）的主持人，获江苏省教学成果一等奖，江苏高校优秀教学团队、江苏高校省级优秀基层教学组织，获首届全国高校大学数学课程教学创新示范交流活动一等奖，首届东南大学杰出教学奖。主要从事环论、模论、同调理论及广义逆理论的科学研究，迄今共主持7项国家自然科学基金项目，发表SCI收录论文200余篇，出版学术专著4本，曾获第四届江苏省青年科技标兵，中国高校自然科学二等奖，江苏省科学进步三等奖。

吴藏，理学博士，南京林业大学理学院教师。毕业于东南大学，研究方向为环论、矩阵理论，发表SCI论文十余篇。

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Algebraic Theory of Generalized Inverses

(广义逆的代数理论）

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距离I. Fredholm在1903年首次提出广义逆的概念已过去一百多年。在这期间，广义逆理论得到了长足的发展，多种不同类型的广义逆陆续被提出，广义逆被证明不仅自身具有重要的理论意义，也在数值分析、统计学、微分方程等其它领域的研究中发挥着重要而广泛的作用。

本书以环、半群、范畴等代数结构中的Moore-Penrose逆、群逆、Drazin逆、核逆、伪核逆为主线，介绍广义逆的代数理论，包括代数方程刻画、存在性准则、表达式、关于代数运算的性质等等。作者撰写本书出于两个目的：一方面考虑到当前广义逆理论的教材和专著多专注于复矩阵和算子的相关广义逆的性质、计算和应用，缺少环、半群、范畴等更一般的代数结构中广义逆的相关理论；另一方面为相关方向的研究生提供较为适当的广义逆的代数理论的参考书。为此，本书在编排上注重循序渐进，从矩阵分解入手，介绍矩阵广义逆的基本性质，以此类比，延伸到环、半群中的元素以及范畴中的态射的相关广义逆上，介绍广义逆的代数性质及其与代数结构的性质之间的内在联系。本书可作为相关数学专业研究生或高年级本科生的教材或参考书，也可供相关专业的教师或科研人员参考。

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广义逆的符号模式（英文版）

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This book addresses recent developments in sign patterns for generalized inverses. The fundamental importance of the fields is obvious, since they are related with qualitative analysis of linear systems and combinatorial matrix theory. The book provides both introductory materials and discussions to the areas in sign patterns for Moore-Penrose inverse, Drazin inverse and tensors. It is intended to convey results to the senior students and readers in pure and applied linear algebra, and combinatorial matrix theory.

本文经授权转载自微信公众号“科学出版社”，编辑：刘四旦。

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