数学：思维的体操

面对数学，有人畏惧退缩，有人如痴追求，还有人认为是符号游戏和解题训练。事实上，数学之美在于缜密逻辑和高度抽象。如培根所言，数学是思维体操。感悟数学思想方法，改善思维品质是学习它的要旨所在。

学习数学的过程应如是：先学会从一些现象中抽象出数学概念并学会用数学语言给出严格的定义，再学会分析其中的基本规律并学会用公式进行描述，然后推导出更多的结论并给出一些应用。人们从事数学活动时所必需的各种能力的综合就是数学能力，而数学能力的核心是数学思维能力。如果说思维是人的一种高级的心理活动形式，那么数学思维能力就是直接影响数学活动效率的，并使数学活动顺利完成的个性心理特征。

在儿时充满好奇的课堂讲述高斯发现整数从1起依次加到100可以通过这些数首尾相加的和得到的童年故事，提出四边形切去一个角还剩几个角的问题；还有在现代科学技术时代构建由“智能投屏+交互课件+创意道具+APP学习平台”打造的魔法数学思维馆等等，使我们看到科学家故事、脑筋急转弯、趣味游戏、快速心算和思维启蒙训练活动，可以让儿童在游戏中培养数学感知，开发大脑潜能，锻炼思维的逻辑性和抽象性。

逻辑思维的基本形式是概念、判断、推理，是严密的理性思维过程。中学数学教学重视通过解题训练，系统培养数学演算能力、数据处理能力、空间想象能力和逻辑思维能力等数学素养，而其中逻辑思维能力尤为重要。一方面，解题过程注重推理能力的训练，如在函数板块，根据函数的特性，利用数形结合，通过运算或推理，来找出函数的数量关系等，解题推导过程要求条理性、逻辑性、灵活性及创新性，因此逻辑思维和推理论证扮演了非常重要的角色。另一方面，解题过程注重思维严谨的培养，要求学生思考缜密，言必有据，思路清晰，运用正确的推理方法和推理格式，准确而有条理地表述自己思维过程。数学逻辑思维是严密的理性思维能力，它的形成可以使学生能够在头脑中自觉地进行逻辑建构，这种思维模式的缜密性、条理性和思辨力会自觉用于一般问题的处理中，可使学生受益终身。

抽象思维是运用抽象概念来透过表象反映本质，达到统一表述的心理过程。在大学数学的学习过程中，抽象思维的培养尤其重要。引入线性空间用于表述具有线性关系的数学对象的统一特征；引入矩阵特征值用于描述二次曲面的统一特征。又从无穷序列的变化思考，引出了极限、连续、导数和积分的概念；还从一维空间的距离思考，引出了赋范空间、度量空间和拓扑空间的课程内容。大学数学的学习中，概念一次又一次抽象，眼界一次又一次打开，思维波涛一次又一次向前推进。可以看到，当人们摆脱直观运用符号高度抽象形成概念时，可以更深入看到问题本质，提高思维效率，同时高度的抽象是为了更广泛的应用。因此，大学数学学习使学生在知识学习和解题训练的同时，心理素质不断提高，抽象思维和创新能力逐渐提升。

学习数学不是空洞地了解概念、公式、原理和机械地解题。一方面，要将数学理论的学习与应用相结合才能激发学生的好奇心和求知欲，培养创新意识，进入到创造性想象的思维阶段，使思维品质进一步升华。目前，高等学校组织的本科生科研训练计划、数学建模竞赛等活动，让学生参与导师的科研活动，让学生学会面对各种各样复杂问题和环境，灵活运用公式和法则，在活动中展现了他们的激情和创新思维能力。另一方面，在科学技术飞速发展的今天，创新意识和创新能力日益成为国际竞争力和国际地位的最重要的决定因素。而作为现代思维方式的创造性思维是以逻辑抽象为基础的思维，因此有必要在数学理论学习和应用体验的同时，学会更多的理性思考和抽象思维的能力。目前，高校正在试行的小班化教学、线上线下混合教学模式等教学手段，这将带来创新性思维品质培养的活力和培养效率的提高。

在当今社会，良好的思维习惯已渗透到生活各方面。疫情控制、社会治理和企业管理等都面临着大量碎片化问题，需要逻辑思维，实行系统管理。大数据处理、人工智能和金融控制等都面临着大量复杂数据或表象，需要抽象思维，找出共性特征和构建模型，实行数据管理。可喜的是，目前计算机已能高度模拟人类的逻辑思维，就是应用逻辑思维和抽象思维的最好体现。

青年人的思维习惯的框架正在形成，用数学思维训练刺激大脑皮层，可以形成理性思维习惯，提高思维品质。逻辑思维和抽象思维是创造性思维培养的基础。用数学所训练的思维观察现实，构造数学模型，学习数学的语言、图表、符号表示，进行交流；通过理性思维，培养严谨素质，从一般到抽象，从抽象到一般，追求创新精神，这是新时代的要求和呼唤。

（作者为东南大学教授，教育部大学数学课程教学指导委员会委员，国家精品在线开放课程负责人，国家级线上线下混合式一流课程负责人，“十一五”“十二五”国家级规划教材《线性代数》主编。）