嘴派理论，双板滑雪中转弯的动态力学分析及侧倾角理论
首先必须感谢远在大洋彼岸的Firehawk帮我审稿、改稿，并提了很多指导性意见！
雪滑不好，但嘴上说不能不好！ 自建嘴派门来探讨滑雪的物理力学分析。以下内容皆原创，不一定全部正确，欢迎讨论，欢迎指正，欢迎批评，尽管拍砖！
我比较讨厌把原理搞的都像奥数似的（中国式教育体系），讲半天云里雾里，恨不得越听越听不明白。何必把知识搞那么复杂，理论服务于实践，没理论照样滑一腿好雪！但是，如果滑的不是很好的话，那就需要嘴上说的好了，因为一样可以唬人。。。。
请先看这张图片：
[attach]2290125[/attach]
图片来源：http://www.skiforum.it/forum/scuola-sci/62829-pmts-5-anni-e-possibile-4.html
（这是一张非常好的图，要素很多，但我讲的理论和这些要素关系不大，所以，请自行分析图中的所有内容。链接中的内容同样丰富）
我想问问，图中4和12是不是一样？记得之前有人发过一篇受力分析，归纳如下图：他指出A是入弯C是出弯，所以A和C是不同的；但我以为A、C两点唯一的不同是一个身体面对左，另一个面对右，剩下完全一样。A点如果是入弯那么C点也是入弯。。。。我不觉得可以从C点到下一个A点能够瞬间完成，A和C本来就是一回事嘛！有了这个观点接下来的分析就容易多了，我们只需要完成A->C的分析，就能完成滑雪整个转弯的分析，这没问题吧，虽然绝大多数人两边是不对称的，但力学分析不受影响，纯理想化！
[attach]2290126[/attach]
下面都会引用A、B、C三点代表一个弯的顶点，中点和底点。那么A点发生什么呢？实际情况中，A点雪板基本不会水平（相对水平面），几乎肯定会有朝山下的角度【很少有把半圆画成图中所示，一般也就是个S而已，实际情况肯定如此，除非你故意把雪板转向山上！真滑如此完美的半圆是不可能的，一会儿我会解释，这也是我动态力学分析的结果】，此时可能有三种情况：
1. 重心落在雪板的外侧山上方向；
2. 重心落在雪板上或两雪板中间；
3. 重心落在雪板的外侧山下方向；
几乎所有图例都会按照2来说明，因为高手可以做到换刃时重心恰好刚刚越过雪板（这里认为只要在雪板中间就算越过雪板，因为这个时间很短），这也是我们追求的目标之一！但即使做到1也没问题，因为这是即将成为高手的表现，很快就能越过；至于3我觉得运动员具备这钟素质，运动员换刃是根据需要的，在整个弯的任何过程都可以完成（比如空中换刃），这个咱就不说了，水平的差距实在太大。如果是1那么也将会在A->B的某个位置，重心跨过板面，所以在弯的绝大多数时间，重心应该都在雪板内侧。小提示：不断练习，让换刃点越来越接近A点，直到重合。
吐槽一下“重心”，我其实不愿意用“重心”这个词，但大家一直这么沿用我就得解释下我的观点。首先，重心是物体的质量中心，作为人来讲，重心大概就在肚脐眼后面的某个位置。当然这是指站直的情况，如果你哈了腰、拧了腿，那重心甚至可能在你的身体之外。大众滑雪“重心”大部分理解成身体作用在雪面上的作用点，说什么重心落在板内也是理解为压力等效作用点处于雪板的内侧。其实，这个作用力是两种力的综合体现，不仅有重力，还有雪板给你的反作用力，这两个力的合力构成一个综合力，复杂而优美。我这里自建一个词“重心等效作用线”，用来理解重心与这个作用点的连线。双脚直立站立的时候重心等效作用线就在身体正中间垂直向下，单外板滑行中等价为重心到外侧雪板与地面接触点的连线，这条线在很多讲反弓的图例中都能看到，例如：
[attach]2290127[/attach]
图片来源：http://www.yourskicoach.com/glossary/SkiGlossary/Angulation.html
图中的动作做得比较夸张，实际没必要做这么大的动作，做到脚、膝盖、肩部大致在一条线上就行。图中绿色的线就是我说的“重心等效作用线”，大家说道所谓的“重心”其实就是这条线和地面的交点。
我们很多时候都认为重心就是重力作用在雪面上的等效点，认为滑行只是由重力引起。但应该说“不全是”，因为，还有雪板在雪面上的反作用力，这两个力就是我今天动态力学分析的两个主要力。
高速下的空气阻力和大风的风力，这个能忽略吗？ 经验公式，一个自行车手在50公里时速下的风阻大约是4~5公斤，滑雪服没自行车紧身衣那么“性感”，推测阻力在10~15公斤吧（自行车风阻资料：http://bbs.8264.com/thread-1232166-1-1.html）。风阻公式：
[attach]2290128[/attach]
其中
Cd是风阻系数
是空气密度
S是迎风面的横截面积
v是速度。
我假设雪服面积增大3倍推测这个10~15公斤的力量，不小了已经可以影响滑行，我会在下面的动态计算中有所体现，但由于计算过于复杂，仅仅还是参考力吧。
好，滑雪做物理力学分析的三个力都出现了：重力、雪板反作用力、阻力（空气阻力和地面阻力），上面说一大堆枯燥理论，但请怀着一颗宽容的心，因为接下来的公式和计算比上面还要枯燥得多，不感兴趣的就直接“顶”或者“赞”吧！
牛顿力学（经典力学的一种表现形式）分析力的大小、方向和作用点（还好没完全还给老师，参考http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%80%E5%8D%95%E6%9C%BA%E6%A2%B0），我们现在要分析的力一共有三个，他们的三要素分别是什么呢？
1. 重力：大小永远等于你的体重，方向永远竖直向下，只要你没飞出地球；作用点就得好好分析喽，随着身体做各种动作，倾倒、反弓、前后调整等等，作用点都会做少量的移动，也是身体质心的移动。
2. 雪板反作用力：大小永远等于作用在雪板上面的压力，这个压力可能是重力的分力，也可能是你大腿蹬雪板的压力。有人奇怪说：“不管我是不是蹬雪板，这个压力不应该永远等于重力在这个方向上的分力吗？”这点上我考虑了很久，终于明白了。首先，这么理解本身就不对，不是重力在反作用力方向的分力，而是反作用力在竖直方向上的分力恰好和重力相等！这个压力逻辑上可以有两个分量，一个构成在雪道上转弯需要的向心力，另一个是身体上下动而压力改变，通过对雪板加压、放松、改变重心高低；为什么说是逻辑上，因为实际上还是只有一个力的，我逻辑上分两个是便于理解。所以说要有引申啊，就是为了减少对雪板的压力；方向，如果雪板等效成一个点的话，这个力的方向完全指向我刚从说的那个“重心等效作用线”；作用点永远在雪板和地面的接触点上，呵呵，这个没得说。
3. 空气阻力：大小和速度成平方关系（上面有公式），方向永远和运动方向相反，作用点可以等效为作用在质心上。
[attach]2290129[/attach]
图片来源：http://www.tudou.com/programs/view/PPGNZhOrQnM/?FR=LIAN
其实，阻力是非常复杂的力学分析，有专门的物理分支，我一个学数学的是完全搞不懂！这里我大胆做些假设（搞数学特别喜欢搞假设，然后推出一堆自己完全看不懂的理论）：
1. 空气阻力仅跟速度相关，假设30公里时速风阻5公斤，40公里10公斤，50公里15公斤，60公里25公斤，我先这么假设着，不对再说。。。。
2. 空气阻力方向永远指向运动后方，转弯也好，各种姿势也好，阻力永远向后。
接下来还得做几个假设，没办法，不假设实在做不出来：
1. 假设人体可以等效成一个圆柱体，圆柱体的轴就是我上面说的“重心等效作用线”；
2. 假设两个雪板沿作用力方向等效成一个点！一般都是外板滑行，这个等效成立；即使双板5：5分力，这个假设也是成立的，只是上面那个圆柱体要粗一点点；
3. 滑雪板沿雪板方向可以等效成一个点。虽然雪板很长很宽，但是综合到力学分析上就可以等效成一个点了。
4. 人对雪板的压力是唯一的。上面说这个力，逻辑上分成两个，但分析的时候还是当一个来看，这里不考虑加压、减压、如何换刃什么的，只考虑压力综合表现；
补充一点，我所有分析不区分Skidding、Carving（搓雪和卡宾），大家总以为Carving容易滑出半圆，喜欢用Carving来举滑半圆例子分析，但根据我下面计算，实际上只有Skidding才有可能滑出真正的半圆，Carving是滑不出完美半圆的，挺意外吧。。。。。
根据这些假设，我可以画出一个在雪道上面的作用力简图：
[attach]2290130[/attach]
图中是个斜面，A点橙色线段假设是个人，垂直站立于雪面（坡面）。实际上，人基本不会完全垂直于雪面，总会有些角度，但这里忽略，仅作分析假设。人与重力线夹角等于坡面夹角 ，此时人仅仅收到重力影响（暂时忽略阻力，因为阻力方向不影响向心力）。实际上，在A点除了水平方向有速度以外（定义垂直于滚落线方向为水平方向），在滚落线方向也有速度的，这个速度用来快速的交换重心，但为了计算方便，暂时忽略这个方向的速度，设其为零，所以，A点的力学分析有：
[attach]2290131[/attach]
其中：
F向 是在A点指向圆心的向心力；
F垂 是垂直作用在雪面的压力大小，这个力是重力在雪面上的分力；
F山下 是沿滚落线方向合力。由于重力全部充当向心力，此时向山下的合力恰好为零；
注意，此时的分析以雪面作为参照系，以下分析都是雪面为参照系【很关键】！雪面是惯性参照系，我们仍然可以根据分力、合力的方法来分析，这里分析的三个分力就是：
1. 向心力，永远指向圆心，改变方向但不改变速度；
2. 垂直于雪面的压力，不会影响方向也不影响速度；
3. 沿滚落线方向合力，这个力是加速、减速，同时改变方向和速度的力；
这三个分力的方向并不垂直，我只给出力学分析法，具体计算我也推不出来，数学功底还是不够哇。很明显，在A点仅有重力在各方向的分力，那么在B点就不同了，B点重力、雪板反作用力共同影响滑行（阻力暂时还是忽略，因为阻力永远与向心力垂直，不影响方向）。
[attach]2290132[/attach]
B点分析如下，B点是和圆心O在同一水平线的点，在B点，人侧倾向雪面，假设人体与雪面的夹角是 。此时，雪板与滚落线方向一致，身体正朝滚落线，向心力完全水平，重力此时不会影响滑行方向（因为，重力在雪面滚落线方向的分力垂直于向心力，此时仅能起到沿滚落线的加速作用，不影响向心力），那么此时的三个分力分别是：
[attach]2290133[/attach]
解释一下，不对请指正。在B点，人体侧倾，雪面夹角 ，由于雪面有角度，所以重力垂直雪面的作用分力就是Gcos ，也即是人体作用在雪面上的正压力；
向心力是雪板反作用力在水平方向的分力，由于雪板反作用力在垂直上面的分力等于重力垂直雪面的分力，所以雪板反作用力大小等于Gcos /sin （ 是身体与雪面夹角），向心力等于Gcos /sin *cos =Gcos /tg ；
朝山下的力是重力沿雪面滚落线方向的分力，此时只起加速作用。
由于B点的特殊性，人在B点身体重力和向心力垂直，朝山下的力给人最快的加速度！所以尽快突破在B点的恐惧感是滑雪的必经之路。B点加速度最快，给人失重感觉最明显，但速度最快的点是在B点到C点中间B ，这个将在下面给出。
[attach]2290134[/attach]
先说C点，分析得知和A点正好相反，我之前说过A点和C点是完全一样的，但对于半个弯来讲A和C正好对称：
[attach]2290135[/attach]
由于C点向心力和滚落线方向正好相反，所以这里符号相反，向山下合力仍为零。
A、B、C三个点都分析完了，下面我们进一步多分析三个点，一个在A、B之间，另两个在B、C之间，A、B之间的点A 是随意选的，B、C之间的点B 、B 选择比较特殊，B 点是速度最快、也是侧倾角度最大、拍摄位置最好点；B 点是减压换刃的起点。
[attach]2290136[/attach]
先分析A 点，假设人体与雪面夹角 ，圆弧和滚落线夹角是 ，那么三个力的分析就有下面的公式：
[attach]2290137[/attach]
此时的向心力由两个分力组成，一个分力是雪板反作用力的分力，另一个分力是重力垂直于滚落线的分力（指向圆心），比较绕但实际情况就是这样；雪板反作用力的向心力仍然满足上面的分析，等于Gcos /tg ；重力在这个方向的分力是上式第二部分。
和A、B点一样，垂直于雪面的力永远等于重力在坡面分量，这个在任何点都是不变的；
此时沿滚落线方向的合力由三个力组成，都是分力的分力。主要的两个是雪板反作用力指向圆心分力然后在滚落线方向分力（向心力和滚落线夹角 ）和重力沿滚落线方向的分力，两者之差就是滚落线方向的合力；再减去阻力在滚落线方向分力。
由于A 点是任意选的，所以A 点从A到B三个力的变换趋势满足上式， 越来越小（侧倾幅度越来越大）， 越来越大（最后90度就是B点了），这个公式同时应用在A、B、C点都是一样的。实际上，在整个圆的任一点，公式都成立，请自行证明！
[attach]2290138[/attach]
B ，B 两点力学分析和A 点是完全一样，但因为 大于90度，所以cos 小于零。
[attach]2290139[/attach]
B 、B 两点很特殊，从B ->C点经历了先加速、后减速两个主要阶段。沿滚落线方向合力先逐渐减小（正）到零【B 】；然后逐渐增大（负）到最大【B 】；再逐渐减小（负）到零【C】这么三个阶段。也就是先加速到B ，然后减速到B ，然后再减速到C。B 是速度最大点，B 点是释放板压的起始点。
从分析看出，下半圆要比上半圆还要复杂得多，真想滑好雪，下半弯必须掌握！
我理解大概学习顺序就是。
1. 先掌握基础平行式，基本保持雪板平行；
2. 尽量早内倾，从A点开始立刃，尽早入弯；
3. 仔细分配力量，平衡B点到C点的三个阶段，这样就能refined steered turn了！
如果没有人主动参与，放任身体自由落体，那么从B-> C点速度肯定越来越大，最后在C点不受控制的飞出去！但由于人的主动控制侧倾，从上面公式也能看出各个力的分析中都出现了侧倾角 ，滑雪最关键的就是完全控制这个角，大了——倒地；小了——侧翻，到这里就提到了我题目中之“侧倾角理论”。滑雪中侧倾角是唯一决定滑行状态、速度、力量的要素，下面会给出这个角度的计算，当然只能更加的无聊。
B 点如果速度达到最大，那么其在滚落线方向的合力就应该是正好换方向的一刹那，也就是合力正好为零的点（合力为零点也是切线速度最大点，请自行证明），上式中F山下的大小等于零，也即是：
所以有
[attach]2290140[/attach]
公式解释起来忒麻烦，为让大家先有感性认识，暂时忽略阻力部分，简化以后侧倾角 只跟 有关了，用Excel做了个表格，看个大概：
tan( )
(角度)
tan( )
(角度)
15
85
0.33
18.15
20
85
0.24
13.57
15
80
0.67
33.75
20
80
0.49
26.19
15
75
1.04
45.99
20
75
0.76
37.31
15
65
1.92
62.49
20
65
1.41
54.72
15
60
2.49
68.10
20
60
1.83
61.37
15
55
3.19
72.60
20
55
2.35
66.94
15
50
4.09
76.25
20
50
3.01
71.62
15
45
5.28
79.27
20
45
3.89
75.57
15
40
6.92
81.78
20
40
5.09
78.89
15
35
9.29
83.86
20
35
6.84
81.68
15
30
12.93
85.58
20
30
9.52
84.00
表格中：
是坡面角度，这里取了两个常用坡度：15度和20度；
是速度最大点与C点的夹角（为看起来方便我用向心力、滚落线夹角锐角代替，角度越大表示更接近B点，角度越小表示更接近C点）
是人体与雪面内倾角；
这个表格没考虑空气阻力，所以肯定不准，但趋势可以看出：内倾角越大越可以更快的越过平衡位置，越过平衡位置后就开始减速。换句话，压得越狠减速的时间也越长，这跟我们平时感觉是相通的。可能有人问了，运动员侧倾几乎贴在地上那岂不是减速更大？呵呵，运动员滑的可不是完美的半圆噢，人家一旦方向转过来了就不在滑圆而是斜滑降。他们计算的是转弯的减速时间和滑行距离消耗的时间比，计算很多时间和的最小值，跟我上面的计算还是差很多的。
为了A点和C点速度一样，整个转弯过程可简化成一个加速过程和一个减速过程，加速过程从A到B ；减速从B 到C点。B 点越接近B点，减速时间越长，越容易控制速度；如果B 点都快到C了，那你只能越滑越快，最后无法控制飞出去。B 是非常重要的一点，尽量早些越过，能有充足的时间为下一个弯做准备。
B 点的分析与B 上是一样的，这里单独提出因为B 点更重要！从这一点开始释放板压，基本上，国外各种xxISA教学体系中所有关键要素都是从这个点开始，比如开始换刃、减少板压、引申、phase 1等等，如何控制B 的位置也就显示出一个人的能力了。由于我暂时还无法领悟B 点的时机和位置，关于B 点的分析没经验，暂作为下篇文章的重点吧。。。。
说了这么多都是力学分析，貌似与实际距离较远，接下来就是实打实的物理学计算，在各点速度分析、受力分析和最重要的内倾角度分析。这里主要用到以下两个物理定律：
1. 向心力公式： [attach]2290141[/attach]其中m是质量；v切线速度；r圆半径；
2. 能量守恒定律：滑雪运动中的能量有四个，动能、势能、人体形变做功、阻力损耗能量。
下面分析三个问题：
第一个问题，在A、B、C点时的速度是多少？
第二个问题，在A、B、C点时的力量是多少？
第三个问题，在A、B、C点时的侧倾角是多少？
前面说了，A和C点是完全一样的，那么A点的速度是多少呢？根据上面公式 Gsin =mv2/r，消去质量后得v=sqrt(g*sin *r)，此时腿部力量完全等于垂直于雪面压力，身体侧倾角 等于90度。重力与雪面垂线夹角
r1
v1
r2
v2
r3
v3
10
15
18.2
20
21.0
25
23.5
15
15
22.2
20
25.6
25
28.7
18
15
24.3
20
28.0
25
31.3
21
15
26.1
20
30.2
25
33.7
24
15
27.8
20
32.1
25
35.9
27
15
29.4
20
34.0
25
38.0
30
15
30.9
20
35.6
25
39.8
表格中列出几个常见坡度和转弯半径的A点水平速度，绝大多数在20~30公里/小时，这速度应该是很容易控制的吧。
等等，这是我们假设的理想情况，实际情况呢？上面说A点有3种可能，如果实际速度小于上式，重心没有越过雪板（加油，一定要尽快越过），此时如果强行换刃将导致圆不够完整。实际上，在A点都会有向下的速度，目的就是迅速完成换刃。
B点分析要复杂些，B点速度计算要用到能量守恒，此时还是要做些假设，假设从A点到B点人的做功消耗是零。这么假设其实有道理，从A到B人能做的事情比较少，如果侧倾过大就倒向雪面，如果侧倾不足就翻过去了，在整个A到B的过程中身体基本是被动的，不像B到C可以有那么多阶段。根据能量守恒，此时势能转换为动能和阻力消耗。
[attach]2290142[/attach]
假设风阻和雪面的阻力大约等于重力的10%（按照我体重0.1吨、时速30公里、阻力总共大约10公斤估算），按我自个评估的估算表格如下。
r
v0
v2
侧倾角
压力
r
v0
v2
侧倾角
压力
r
v0
v2
10
15
18.2
19.5
78.5
100.5
20
21.0
22.6
78.5
100.5
25
23.5
25.2
15
15
22.2
29.5
64.7
106.8
20
25.6
34.0
64.7
106.8
25
28.7
38.0
18
15
24.3
34.0
57.5
112.8
20
28.0
39.2
57.5
112.8
25
31.3
43.9
21
15
26.1
37.9
51.1
120.0
20
30.2
43.8
51.1
120.0
25
33.7
48.9
24
15
27.8
41.4
45.4
128.2
20
32.1
47.8
45.4
128.2
25
35.9
53.4
27
15
29.4
44.5
40.5
137.1
20
34.0
51.4
40.5
137.1
25
38.0
57.5
30
15
30.9
47.4
36.3
146.3
20
35.6
54.7
36.3
146.3
25
39.8
61.2
速度在B点增加的都很多，在坡度24度回转半径20米的情况下就快突破50公里/小时，继续往B 走的话肯定50公里/小时以上；但是内倾角和雪板压力却是只跟坡度有关的，和速度、半径都没关系，换句话滑行速度主要取决于坡度，和转弯的半径无关。
B 点可以类似的分析，但由于B 点的位置和侧倾角有关，那么此处的动能分析比较麻烦；B 点分析更复杂，由于可以主动控制B 点的位置，但具体如何计算，由于人的主动参与过多，应该只有到达一定程度后才能理解，也作为下篇文章的重点吧。总之，B 和B 点的掌握是滑雪的最高级别能力，先控制好B 点，然后慢慢体会B 点的动作。。。。。
由于实际上不可能滑出半圆，如感兴趣可以按照和我类似的分析逻辑对B 点和B 点分析，权当是课后练习。
———————————— 华丽的分割线————————————
理论分析就到这里， 基本上我能得出的就是这些了，不知大家能从我的分析中得到什么心得，下面总结一下：
首先，说说Carving无法滑出完美半圆这个事儿：
现代Carving滑法，一旦用力压实雪板，那么雪板的轨迹就是雪板边缘弧线的痕迹。如果力量不变、倾角不变，痕迹将是完美的圆弧！但实际情况，从A点到B点侧倾角逐渐减小，根据卡宾板的特性，雪板立刃角度越大，那么它走过的弧就更短、更凸，半径更小，随着立刃角度的不断增大（到B 点前立刃角度是一直增大的），弧半径肯定越来越小，过了B 点之后立刃角度不断减小，那么弧半径也会越来越大，所以实际上滑的弧是下图中黄色线的位置。也就是卡宾板是不可能滑出完美半圆的。至于Skidding就不同了，skidding由于可以随意控制雪板角度，那么就可以根据需要控制侧倾角度和速度，那么就有可能滑出半圆。
[attach]2290143[/attach]
通过上面的能量分析，顿悟为啥skidding可以减速！以前一直理解只有滑入Low-C阶段，用雪板刹车方式的skidding才能减速，但实际上在任何阶段只要发生skidding就一定会减速。因为能量守恒，一旦发生skidding就表示能量已经转化到雪面的雪上了，所以在High-C部分提前做出skidding就可以更从容的控制速度，换句话skidding不仅指下半圆，上半圆也同样要求skidding，控制速度诀窍就是均匀的减速，而不是把减速都放在B 到C这段弧上。
还有理解了，都说High-C难，但实际上Low-C比High-C还要难！High-C、Low-C的定义不说了，没找到明确定义，就按照大家听说过的自行理解吧。
最后再重复一遍上面的分析：
从A-> B点是变加速曲线运动，接近半圆，B点是加速度最大点，也是最恐惧的点。但根据上面表格，B点速度并没有快到离谱的程度，3~40公里还是可控的，一定量的练习就能克服。
B-> B 也是变加速曲线运动，但加速度越来越小。同时B 点的位置仅取决于你压弯的角度，压得越厉害越能更早的到达B 点，同时速度也越早开始减速，所以过了B点以后就尽量向弯内压吧。
B ->B 、B -> C是变减速曲线运动，之前的加速必须在这段减到初始值，压力还是蛮大的，实在不行就搓雪吧，能量的损耗可以让你更从容的控制速度。速度减的不够可通过下压板换刃（提升重心也消耗能量，减速同时为了释放板压），速度减过了可以通过收腿的方式换刃。
理论分析对滑雪非常有指导意义，弄懂了我很多以前不是很理解的地方。虽然很多地方都做了假设、不合理忽略、减少变量等等，但总体上还是很有指导意义的。
希望我的分析能给那些热爱研究滑雪力学分析的学友们以帮助！
最后，再次特别鸣谢Firehawk和梁哥帮忙审稿，让我的理解更充实饱满，滑雪就应该是一帮人一起的活动，如果你还没有身边的同伴，就来找我吧。。。。。
《2013年11月11日星期一 发表于绿野滑雪，转载请注明出处》